¿Qué campo de las matemáticas será el más fácil de dominar para un aficionado a fin de participar en la investigación profesional?

La matemática es una de las disciplinas más difíciles de tener un impacto como aficionado, vea la respuesta de Cristi Stoica para obtener detalles sobre esto, pero el mundo para mí es aficionado en matemáticas no es inútil. Hay muchas personas como yo que no han estudiado matemáticas, que ni siquiera imaginaron que probarían teoremas en su vida que terminaron haciendo exactamente eso. Vine al departamento de matemáticas porque sabían algunas de las formas más avanzadas y eficientes para resolver ecuaciones diferenciales parciales. La mayoría de las cosas en física e ingeniería se pueden describir con ecuaciones diferenciales parciales, en mi caso simulamos luz electromagnética en estructuras especiales como estas

Estas ecuaciones son muy difíciles de resolver y un problema informático muy desafiante. De hecho, la mayoría de las supercomputadoras se utilizan para resolver exactamente ese tipo de ecuaciones. Terminé no solo implementando esos algoritmos sino también demostrando por qué el enfoque particular que desarrollamos es tan eficiente. Para hacer esto terminé usando matemáticas realmente involucradas (análisis funcional, numérico y análisis complejo).

Comprender las matemáticas tan complicadas es realmente difícil. Para mí fue en realidad un poco más fácil que para la mayoría de los estudiantes de matemáticas. Ya sabía qué cosas funcionan y cuáles no, porque intenté y analicé a fondo todos esos enfoques en mis simulaciones por computadora. Por otro lado, también aprendí muchos aspectos nuevos sobre el problema cuando traté de probar cosas. Por ejemplo, descubrí que algunas suposiciones de que mis teoremas requeridos son realmente importantes y que si no se cumplen, mis simulaciones también se romperían.

Mi punto es que es realmente importante abordar un problema tanto desde el punto de vista matemático / teórico como desde el lado práctico / de aplicación. Incluso si no comienza como matemático, puede comprender bien su problema desde otra dirección que no sea la matemática y dar pequeños pasos hacia este objetivo. Eventualmente puede encontrarse en la posición de descubrir algo nuevo y probarlo. De hecho, la mayoría de las matemáticas fueron descubiertas por no matemáticos de esta manera, especialmente por físicos.

Nunca se sabe si lo que descubres puede ser algo grande en matemáticas o algo más pequeño que solo interese al campo específico (como en mi caso), pero en todos los casos, ser más matemático en tus enfoques puede ser muy beneficioso para ti a largo plazo correr. Decidí ir a una carrera en la industria donde no uso ningún detalle de mi doctorado; Sin embargo, todavía me beneficio mucho de mis enfoques más matemáticos de los problemas.

Esta es una pregunta difícil porque, como ya se ha señalado, cuanto más fácil es estudiar algo, más probable es que alguien más lo haya estudiado a fondo. ¡Solo estudie alguna pregunta famosa si no le importa si llega a algún lado con ella o no!

La especialización puede ayudar. La gente tiende a no convertirse en “maestra” de toda la topología algebraica o teoría analítica de números o áreas tan grandes; tienden a convertirse en maestros de algo realmente específico. Parte de la pregunta que debe hacer es, ¿realmente desea obtener algún resultado, incluso si es un resultado técnico completamente limitado en algún rincón oscuro de las matemáticas, o está esperando algo mejor, como un resultado que otras personas obtendrán? encontrar bonita? Y también, si tiene algo muy específico en mente, sirve para enfocar su estudio de lo que se necesita saber para dar un paso más. Uno de los ex matemáticos profesionales que conocía dijo que le resultaba bastante fácil obtener resultados en el tipo de geometría algebraica que tenía (superficies desplazadas), pero a nadie parecía importarle, así que renunció.

La combinatoria tiene el problema de que los problemas familiares son demasiado familiares, pero mi impresión es que fuera de lo común hay muchos problemas más pequeños y oscuros que una persona que decidió estudiar solo podría resolverlos.

Hay muchas personas a las que no les importa si los resultados que han demostrado son constructivos o no, y comprender algunos resultados no constructivos desde un punto de vista constructivo a menudo puede involucrar al menos un desarrollo más allá de lo que hicieron al principio. Sea sensato, por supuesto, sobre lo que cree que es lo suficientemente novedoso como para valer la pena publicarlo, pero hay algunas cosas bastante simples cuyas contrapartes constructivas se han publicado.

Eso es fácil: ninguno de ellos! Las matemáticas son una de las disciplinas académicas más antiguas conocidas por el hombre. Toda la fruta baja ha sido recogida por ahora. La matemática moderna a nivel de investigación es muy desafiante, tanto en actividades matemáticas aplicadas como puras.

Existe el factor adicional de que los procesos de pensamiento individuales son más o menos susceptibles a diferentes disciplinas. Si le gustan más las reglas, la lógica y las estructuras formales de los objetos, debe ir puro: álgebra, teoría de números, topología, etc. Si le gusta trabajar con funciones, gráficos y similares, piense en el análisis: funcional, armónico u otro . Si desea comentarios más inmediatos y prefiere tener una caja de arena para jugar antes de tener que probar algo, siga la ruta aplicada: sistemas dinámicos, procesos estocásticos, mecánica de fluidos, aprendizaje automático …

No hay un campo matemático más fácil en el que puedas entrar y comenzar a hacer una investigación significativa, lamento decirlo. Ve por lo que disfrutas. Todo es interesante a su manera.