No es cierto en el caso trivial donde ambos subespacios son iguales. Si exigimos que los subespacios sean distintos, podemos recurrir a la fórmula de dimensión. Supongamos que tenemos subespacios U, W de un espacio vectorial V de dimensión N, entonces la fórmula de la dimensión dice que:
[Matemáticas] dim (W) + dim (U) = dim (U + W) + dim (U \ cap W) [/ matemáticas]
Como los subespacios son distintos, debemos tener algún elemento [math] x \ en U [/ math] \ [math] W [/ math] si dejamos que [math] [/ math] sea el subespacio generado x para entonces U [matemáticas] + [/ matemáticas] tiene dimensión N, por lo que es igual a V.
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En términos más generales, entonces debemos tener [matemáticas] U + W = V [/ matemáticas], así que de la dimensión en la fórmula obtenemos [matemáticas] (N-1) + (N-1) = N + dim (U \ cap V) [/ math] por lo tanto [math] dim (U \ cap V) = N-2 [/ math].
La prueba de la fórmula de la dimensión en sí misma es esencialmente un argumento base en el que tomas una base de [math] U \ cap V [/ math] y la extiendes de manera apropiada.
Si dejamos que B sea una base de [matemáticas] U \ cap V [/ matemáticas], entonces podemos extenderlo a una base [matemáticas] B_ {1} [/ matemáticas] de U y una base [matemáticas] B_ {2} [/ matemática] de V. Entonces [matemática] B_ {1} \ cup B_ {2} [/ matemática] es una base de [matemática] U + V [/ matemática] y [matemática] B = B_ {1} \ tapa B_ {2} [/ math]. Es entonces un resultado básico de la teoría de conjuntos que [matemática] tenue (U + W) = | B_ {1} \ cup B_ {2} | = | B_ {1} | + | B_ {2} | – | B_ {1 } \ cap B_ {2} |. = dim (U) + dim (W) -dim (T \ cap W) [/ matemáticas]
