Bueno, técnicamente, sí, de maneras bastante tontas. Sin embargo, (sin un soporte lógico riguroso, solo mi suposición) dudo que haya pruebas de existencia de biyección facilitadas mediante el uso de la contradicción. Ejemplo de una manera tonta: Probemos que hay una biyección entre (1,2,3,4) y (5,6,7,8). Comience asumiendo que no hay una biyección. Estos dos conjuntos son finitos, por lo que la suposición de que no tienen una biyección significa que deben tener un número diferente de elementos. ¡Pero tienen la misma cantidad de elementos! ¡Contradicción! Por lo tanto existe una biyección. Pero no tiene sentido hacerlo de esta manera, ya que puedes concluir directamente que, dado que son finitos y tienen el mismo número de elementos, tienen una biyección, en lugar de hacerlo de la manera contradictoria. Así que siento que he respondido su pregunta, sí, puede, pero puede que no haya sido una respuesta muy útil. Lo siento.
¿Se puede demostrar que existe una biyección por contradicción?
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Estoy seguro de que se puede demostrar que existe una biyección por contradicción. Pero no puedo ver por qué usaríamos pruebas por contradicción para hacerlo.
Informalmente, una biyección entre dos conjuntos es un emparejamiento de los elementos de los dos conjuntos de modo que todos los elementos de ambos conjuntos se usan exactamente una vez. Cuando esto ocurre, decimos que los dos conjuntos tienen el mismo tamaño o cardinalidad.
Entonces, dados dos conjuntos, la forma más directa de mostrar una biyección entre ellos es mostrar ese emparejamiento.
Curiosamente, lo contrario de lo que su pregunta pregunta es cierto. Casi siempre mostramos que no existe una biyección entre dos conjuntos utilizando una prueba por contradicción.
El uso más famoso de esto fue la hermosa prueba de Cantor, en la década de 1890, de que no hay biyección entre los números naturales y los números reales. Utilizó una prueba por contradicción para hacer esto.
¡Y por primera vez en la historia, se había demostrado que algunos conjuntos infinitos son ‘más grandes’ que otros!
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