La primera idea de la esfera de Riemann es probablemente una forma de tratar con el infinito, definida como el plano complejo extendido [math] \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \} [/ math]. (La página de Wikipedia apunta al artículo original de Riemann, pero, por desgracia, no sé alemán.) Entonces se pueden extender las operaciones aritméticas al plano complejo extendido, con el comportamiento esperado del infinito (cosas como [matemáticas] z + \ infty = \ infty [/ math] y [math] z / 0 = \ infty [/ math] para todos [math] z \ neq0 [/ math]).
Hay una forma muy natural de dar una topología en este plano extendido. Todo en [math] \ mathbb {C} [/ math] permanece como está, y todo lo que tiende al infinito puede verse como entrar en vecindarios cada vez más pequeños de [math] \ infty [/ math]. Naturalmente, esto lleva a la definición de la esfera de Riemann como la compactación de un punto del plano complejo.
Incluso sin ninguna otra estructura que podamos poner en la esfera de Riemann, ya podemos hacer algo con ella en un análisis complejo. Las funciones meromóficas aparecen por todas partes en el análisis complejo. Tienen polos en un conjunto discreto en su dominio, y en un primer curso de análisis complejo, simplemente tratamos estos polos como un tipo de singularidades. Cerca de los polos, el valor de la función meromórfica tiende al infinito, por lo que podemos llenar el valor de la función en este punto con [math] \ infty [/ math] y obtener una función continua del dominio (con los polos lleno) de la función a la esfera de Riemann. Los polos ya no parecen ser singularidades (esa es probablemente la razón por la que solo las singularidades esenciales son, por eso, esenciales ).
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Por supuesto, podemos dar una estructura compleja en la esfera de Riemann, de modo que incluso podamos hablar de holomorficidad con valor [math] \ infty [/ math]. La forma natural de hacer esto es simplemente usar la coordenada [matemática] w = 1 / z [/ matemática] lejos del cero y extender la estructura compleja a [matemática] w = 0 [/ matemática] es decir [matemática] z = \ infty [/ math]. Entonces los polos ya no son singularidades; Los mapas meromórficos son solo mapas holomórficos de la esfera de Riemann.
Sucede que la esfera de Riemann construida como compactación de un punto es difeomorfa a una esfera real, usando la llamada proyección estereográfica. Con su estructura compleja, la esfera de Riemann es un ejemplo de superficies de Riemann (o colectores complejos unidimensionales), y en realidad es diffeomorphic a una superficie bidimensional real, una esfera. Resulta que las superficies de Riemann y las superficies bidimensionales son muy similares si nos olvidamos de la estructura compleja, y este es solo un ejemplo de eso.
Tenga en cuenta que una esfera está simplemente conectada y, por lo tanto, la esfera de Riemann es una superficie de Riemann simplemente conectada. El famoso teorema de la uniformización establece que cualquier superficie de Riemann simplemente conectada es (equivalente a) un disco, el plano complejo o la esfera de Riemann. Todos estos tres son muy importantes en el análisis complejo, uno podría imaginarse.
Al mirar una esfera, uno pensaría que no hay puntos distinguidos en una esfera; es perfectamente simétrico y no hay razón por la cual deberíamos elegir cualquier punto para ser infinito a posteriori . De hecho, los automorfismos de la esfera de Riemann (en el sentido de que son holomórficos, biyectivos, con inversas holomorfas) pueden mapear cualquier punto de la esfera de Riemann a otro. De hecho, más es cierto: elija cualquier triple de puntos en la esfera de Riemann y podemos encontrar un automorfismo de la esfera de Riemann para que este triple se asigne a cualquier otro triple (la llamada propiedad “triple transitiva”). Estos automorfismos se denominan mapas de Mobius y se pueden identificar con elementos de [math] PSL (2, \ mathbb {C}) [/ math], un grupo de Lie muy importante, que introduce el estudio de este grupo en un análisis complejo.
En el espacio dimensional allí, la esfera limita una bola. El llamado modelo de bola de Poincare le da a la bola de unidad abierta una estructura de espacio hiperbólico con curvatura negativa constante. Resulta que cualquier mapa de Mobius puede extenderse a un mapa de la pelota, de modo que se preserva la métrica hiperbólica. Esta es la razón por la cual la esfera de Riemann y sus automorfismos también son importantes en el estudio de los 3 múltiples hiperbólicos.
En una nota diferente, la esfera de Riemann es también (equivalente a) el complejo espacio proyectivo en la dimensión 1, que es una construcción completamente algebraica.
En resumen, la esfera de Riemann es lo suficientemente simple como para ser construida de forma muy natural pero lo suficientemente complicada como para tener una geometría rica y una conexión con muchos otros campos.
