¿Existen espacios topológicos con las propiedades que se describen a continuación?

Seguro.

Tome [math] X = \ mathbb {C} [/ math] y [math] Y = \ mathbb {C} -D [/ math], donde [math] D [/ math] es algún disco. (Abierto o cerrado, no me importa. Radio, no me importa). Ambos tienen la topología habitual.

Visiblemente [math] X [/ math] no es homeomorfo a [math] Y [/ math], ya que [math] X [/ math] está simplemente conectado y [math] Y [/ math] no lo es. Además, [math] Y [/ math] es automáticamente un subespacio de [math] X [/ math] mediante la inclusión, por lo que realmente solo necesitamos pegar una copia de [math] X [/ math] dentro de [math] Y [ /matemáticas].

Esto es bastante facil. Como lema, tenga en cuenta que [math] \ mathbb {C} [/ math] es homeomorfo a un disco de unidad abierto, a través del homeomorfismo

[matemáticas] \ displaystyle \ rho e ^ {i \ theta} \ mapsto \ frac {\ rho} {1+ \ rho} e ^ {i \ theta}. [/ math]

Pero [math] Y [/ math] contiene montones y montones de discos abiertos.

MatemáticasTopología

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X es homeomófica a Y ‘, e Y’ es un subespacio de Y, por lo que hay una inyección continua de X a Y.

Por un argumento paralelo, hay una inyección continua de Y a X.

Eso es todo lo que realmente podemos decir sobre X e Y.

Incluso con la condición más estricta de biyecciones continuas entre los dos, en lugar de solo inyecciones continuas, no se garantiza que X e Y sean homeomórficos.

Espacios no homeomórficos que tienen biyecciones continuas entre ellos.

Sea X = Y = Z × {0,1} [matemática] X = Y = Z × {0,1} [/ matemática] como conjuntos, donde Z [matemática] Z [/ matemática] es el conjunto de enteros. Declaramos que los siguientes subconjuntos de X [matemática] X [/ matemática] están abiertos para cada n> 0 [matemática] n> 0 [/ matemática].

{(−n, 0)}, {(−n, 1)}, {(0,0)}, {(0,0), (0,1)}, {(n, 0), (n, 1)} [matemáticas] {(- n, 0)}, {(−n, 1)}, {(0,0)}, {(0,0), (0,1)}, {(n, 0), (n, 1)} [/ matemáticas]

Esta es una base para una topología en X [matemáticas] X [/ matemáticas].

Declaramos que los siguientes subconjuntos de Y [matemática] Y [/ matemática] están abiertos para cada n> 0 [matemática] n> 0 [/ matemática].

{(−n, 0)}, {(−n, 1)}, {(0,0), (0,1)}, {(n, 0), (n, 1)} [matemáticas] {( −n, 0)}, {(−n, 1)}, {(0,0), (0,1)}, {(n, 0), (n, 1)} [/ matemáticas]

Esta es una base para una toplogía en Y [matemáticas] Y [/ matemáticas].

Defina f: X → Y [matemática] f: X → Y [/ matemática] yg: Y → X [matemática] g: Y → X [/ matemática] por f ((n, i)) = (n, i ) [matemática] f ((n, i)) = (n, i) [/ matemática] yg ((n, i)) = (n + 1, i). [matemática] g ((n, i) ) = (n + 1, i). [/ matemática] Entonces f [matemática] f [/ matemática] y g [matemática] g [/ matemática] son biyecciones continuas, pero X [matemática] X [/ matemática] e Y [matemáticas] Y [/ matemáticas] no son homeomorfas.

Este ejemplo se debe a G. Paseman.

David Radcliffe ”

Más generalmente, tome un espacio X con tres topologías sucesivamente más finas T, T ‘y T’ ‘. Forme dos espacios que tengan el conjunto subyacente ZxX, y “forme las secuencias infinitas” … TTT T ‘T’ ‘T’ ‘T’ ‘…. y … TTTT T ” T ” T ” T ” … Los mapas continuos tomarán una topología más fina en una secuencia a una topología más rugosa en la otra. Puede hacerlos biyectivos y demostrar que obviamente no son homeomórficos para una elección juiciosa de X, T, T ‘y T’ ‘.

Gerhard “Pregúntame sobre el diseño del sistema” Paseman, 2010.07.05