Esta es una pregunta fabulosa! ¡Es hora de revelar las buenas teorías de Lawvere!
Hablemos de objetos monoides en categorías. Tiene algún objeto [math] M [/ math] junto con mapas [math] \ mu: M \ times M \ to M [/ math] y [math] \ eta: \ ast \ to M [/ math] (donde [math] \ ast [/ math] es terminal y [math] \ times [/ math] es el producto categórico) que satisfacen algunos diagramas conmutativos que codifican la unitalidad de [math] \ eta [/ math] y la asociatividad de [math] \ mu [/ math]. Recuerde que los functores conservan los diagramas conmutativos, ya que están obligados a preservar la composición de los morfismos. Ingenuamente, esto significa que podemos subcontratar la conmutatividad de estos diagramas a algún tipo de “categoría sintáctica”, que solo tiene objetos [matemáticas] M, M \ veces M, \ ast [/ matemáticas] y mapas [matemáticas] \ eta, \ mu [/ math] que conmuta según los axiomas monoides. Ingenuamente quisiéramos decir que un functor de esta categoría sintáctica en cualquier otra categoría codifica un objeto monoide, pero nuestra ingenuidad resultaría fatal: necesitamos que la imagen de [math] M \ times M [/ math] sea el producto de la imagen de [math] M [/ math] consigo misma, ¡mientras que los functors ordinarios no lo garantizarán! La solución adecuada es agregar objetos [matemáticas] M \ veces M \ veces M, M \ veces M \ veces M \ veces M, … [/ matemáticas] y morfismos [matemáticas] \ mu \ veces \ eta, \ eta \ veces \ mu, \ mu \ times \ mu, … [/ math] con todos los diagramas de conmutación apropiados que surgen de los axiomas originales codificados en la categoría sintáctica ingenua. Una vez hecho esto, podemos codificar objetos monoides con functors que preservan el producto de esta categoría sintáctica pulida en la categoría interna a la que se les pide que vivan los objetos monoid. La categoría sintáctica se llama la teoría de Lawevere para los monoides; También podemos formar una teoría de Lawvere para grupos, anillos y cualquier otra variedad de álgebras que el álgebra universal nos arroje.
Por lo tanto, una conexión entre el álgebra universal y la teoría de categorías es que cada teoría algebraica tiene su propia teoría de Lawvere, y los functores que preservan el producto en las teorías de Lawvere son modelos internos para esa teoría algebraica. En realidad, hay más que decir … cualquier categoría con todos los productos puede tratarse como una teoría de Lawvere, y cualquier ¡El functor de preservación del producto en dicha categoría codificará algún tipo de modelo interno para esa teoría! En general, es feo tratar de enumerar todos los datos para tal teoría si solo se nos da una categoría con todos los productos, pero ciertamente es posible.
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