Primero lo primero: arreglemos la pregunta. (EDITAR: también resuelvo la pregunta como se indica, al final de esta respuesta).
En lugar de resolver
[matemáticas] [x [x [x [x]]]] = 2001 \ etiqueta 1 [/ matemáticas]
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resolveremos
[matemáticas] x [x [x [x]]] = 2001 \ etiqueta 2 [/ matemáticas]
¿Por qué?
Bueno, antes que nada, una solución para (2) es claramente también una solución para (1). Si la expresión es un número entero, envolverla en otra [matemática] [\ cdot] [/ matemática] no la cambiará. Entonces, si resolvemos la ecuación (2) también habremos resuelto el problema como se indicó.
Además, podemos ver fácilmente que una solución para (2), si hay una, debe ser única, lo que justifica el artículo “el” en la pregunta. Por otro lado, la solución a (1) no puede ser única: si hay alguna solución, hay un intervalo completo de ellas, lo que hace que sea incorrecto pedir “la” solución.
De hecho, estoy bastante seguro de que (2) es en realidad de lo que se trata la pregunta . No sé de dónde proviene la pregunta, pero donde sea que esté, seguramente se suponía que debía venir sin ese par extra de corchetes. De lo contrario, está redactado incorrectamente. (Nota: la gente ha sugerido que quizás la ecuación (1) es la deseada, y se busca el conjunto completo de soluciones en lugar de “la” solución. También resuelvo este problema a continuación).
Okay. Así que echemos un vistazo a la ecuación nuevamente:
[matemáticas] x [x [x [x]]] = 2001 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
El número [math] [x [x [x]]] [/ math] es un número entero, al que llamaremos [math] m [/ math]. Entonces tenemos [matemática] xm = 2001 [/ matemática], o en otras palabras [matemática] x = 2001 / m [/ matemática].
Podemos acercarnos mucho a identificar [matemáticas] m [/ matemáticas] al estimar qué tan grande debe ser [matemáticas] x [/ matemáticas]. La expresión de miedo [matemática] x [x [x [x]]] [/ matemática] es muy fácil de calcular cuando [matemática] x [/ matemática] es un número entero: entonces es simplemente [matemática] x ^ 4 [/ matemáticas]. Dado que [matemáticas] 6 ^ 4 2001 [/ matemáticas], sabemos que [matemáticas] x [/ matemáticas] debe estar entre [matemáticas] 6 [/ matemáticas] y [matemática] 7 [/ matemática]: esto se debe a que [matemática] x [x [x [x]]] [/ matemática] aumenta a medida que aumenta [matemática] x [/ matemática], entonces [matemática] x [/ matemática ] no puede ser inferior a [matemática] 6 [/ matemática] o superior a [matemática] 7 [/ matemática].
Entonces ahora sabemos que [matemáticas] 6 <x <7 [/ matemáticas], y desde [matemáticas] m = 2001 / x [/ matemáticas] esto significa que [matemáticas] 286 \ leq m \ leq 333 [/ matemáticas]. En principio, el problema está resuelto: tenemos un rango finito de valores para verificar el número entero [math] m [/ math]. En el peor de los casos, simplemente podemos verificarlos uno por uno y ver cuál funciona (si corresponde).
Si el contexto del problema es, por ejemplo, un ejercicio de codificación al estilo del Proyecto Euler, este es el caso. Un programa rápido de Python que usa la biblioteca de fracciones revelará inmediatamente el valor de [math] m [/ math].
Pero para un concurso de matemáticas, esto no va a volar. Se espera que encuentre [math] m [/ math] sin el uso de programas informáticos o incluso una calculadora. Así que sigamos adelante y veamos qué más podemos encontrar sobre [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] m [/ matemáticas].
Como [matemática] 6 <x <7 [/ matemática], [matemática] [x] = 6 [/ matemática]. Definimos [matemáticas] m [/ matemáticas] como
[matemáticas] m = [x [x [x]]] [/ matemáticas]
que ahora sabemos es
[matemáticas] m = [x [6x]] [/ matemáticas].
El número [matemática] [6x] [/ matemática] es al menos [matemática] 36 [/ matemática] y como máximo [matemática] 41 [/ matemática]. Eso es bueno porque ahora solo hay seis posibilidades, pero podemos eliminar más. Supongamos que [matemáticas] [6x] \ leq 40 [/ matemáticas]. Entonces [math] x <41/6 [/ math], que obliga a [math] m = 2001 / x [/ math] a ser mayor que [math] 292 [/ math]. Pero entonces [matemática] m = [x [6x]] [/ matemática] no puede funcionar: el LHS es al menos [matemático] 292 [/ matemático] mientras que el RHS es como máximo [matemático] 40 \ veces 41 / 6 [/ math] que es menor que [math] 274 [/ math].
Tenga en cuenta que todas esas estimaciones se pueden hacer sin una calculadora.
Entonces, la única posibilidad restante es [matemáticas] [6x] = 41 [/ matemáticas], y debemos tener
[matemáticas] m = [41 \ veces \ frac {2001} {m}] [/ matemáticas]
lo que significa que [math] m [/ math] debe estar realmente cerca de [math] \ sqrt {41 \ times 2001} [/ math]. En lugar de hacer un cálculo manual de esta raíz cuadrada, puede observar que [matemáticas] x [/ matemáticas] debe estar muy cerca de [matemáticas] 7 [/ matemáticas] (porque [matemáticas] [6x] = 41 [/ matemáticas ]) y así [math] m = [41x] [/ math] tiene que estar cerca, pero menos que, [math] 287 [/ math]. Es realmente fácil comprobar que [math] 286 [/ math] realmente funciona: [math] 2001/286 [/ math] está tan cerca de [math] 7 [/ math] que multiplicarlo por [math] 41 [/ math] nos mantiene sobre [math] 286 [/ math], entonces
[matemáticas] 286 = [41 \ veces \ frac {2001} {286}] [/ matemáticas]
Y eso es todo lo que necesitamos. Hemos señalado [matemáticas] m = 286 [/ matemáticas] y por lo tanto
[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {2001} {286} [/ matemáticas]
Es la solución requerida.
Volvamos a la ecuación (1) nuevamente:
[matemáticas] [x [x [x [x]]]] = 2001 \ etiqueta 1 [/ matemáticas]
Por ahora sabemos que [math] x_0 = \ frac {2001} {286} [/ math] es una solución a este problema, pero no puede ser el único. De hecho, si agregamos una billonésima parte a [math] x_0 [/ math], el resultado satisfará la misma ecuación. De hecho, podemos estar seguros de que el conjunto completo de soluciones de (1) es un intervalo medio abierto de la forma [math] [x_0, x_1) [/ math], y nuestro trabajo es encontrar [math] x_1 [/ matemáticas]. Esta sería la solución correcta para la pregunta “encontrar todas las soluciones de (1)”. Por supuesto, encontrar “la” solución ya no tiene sentido.
Primero, aclaremos por qué el conjunto de soluciones debe parecerse a [math] [x_0, x_1) [/ math]. Si [matemática] x <x_0 [/ matemática], entonces el valor correspondiente de [matemática] m = [x [x [x]]] [/ matemática] sigue siendo [matemática] m_0 = [/ matemática] [matemática] 286 [/ math] o es menor que eso, mientras que [math] x [/ math] seguramente es menor que [math] x_0 [/ math], por lo que el producto [math] xm [/ math] es ciertamente menor que [math] x_0m_0 = 2001 [/ matemáticas]. Redondeado hacia abajo, este producto es [matemática] 2000 [/ matemática] o menos, y no puede resolver nuestra ecuación.
Del mismo modo, cualquiera que sea el siguiente valor entero de [matemáticas] [x [x [x [x]]]] [/ matemáticas] es pasado [matemáticas] 2001 [/ matemáticas], se logra mediante un número racional mínimo [matemáticas] x_1 [/ math] (por las mismas razones que trabajamos para determinar [math] x_0 [/ math]), y para [math] x \ geq x_1 [/ math] debemos tener [math] [x [x [x [ x]]]]> 2001 [/ matemáticas]. Por lo tanto, el conjunto preciso de soluciones consiste en todos los números que son al menos [matemáticos] x_0 [/ matemáticos] y más pequeños que [matemáticos] x_1 [/ matemáticos].
Pero, ¿qué es [matemáticas] x_1 [/ matemáticas]? No es difícil de adivinar: es [matemáticas] 7 [/ matemáticas]. Claramente, [matemática] [7 [7 [7 [7]]]] = 2401 [/ matemática], pero el punto es que para cualquier [matemática] x [/ matemática] que sea menor que [matemática] 7 [/ matemática ] (pero mayor que [matemática] x_0 [/ matemática]), el número [matemática] [x [x [x [x]]]] [/ matemática] sigue siendo [matemática] 2001 [/ matemática]. Mira: lo más interno [matemática] [x] [/ matemática] es [matemática] 6 [/ matemática], entonces [matemática] x [x] [/ matemática] es menor que [matemática] 42 [/ matemática], entonces [ matemática] [x [x]] [/ matemática] es como máximo [matemática] 41 [/ matemática], entonces [matemática] x [x [x]] [/ matemática] es menor que [matemática] 287 [/ matemática] , entonces [matemáticas] [x [x [x]]] [/ matemáticas] es como máximo [matemáticas] 286 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] x [x [x [x]]]] [/ matemáticas] es menos de [math] 2002 [/ math], por lo que redondearlo hacia abajo no puede exceder [math] 2001 [/ math].
En otras palabras, la función [matemáticas] [x [x [x [x]]]]] / / matemáticas es constante durante todo el intervalo [matemáticas] [2001 / 286,7) [/ matemáticas], que también se puede escribir (quizás más claramente) como [math] [2001/286, 2002/286) [/ math]. Para cualquier [matemática] x [/ matemática] en este rango, [matemática] [x [x [x [x]]]] = 2001 [/ matemática], mientras que para el valor “muy próximo” de [matemática] x [ / math], a saber [math] 7 [/ math], ya tenemos [math] [x [x [x [x]]]] = 2401 [/ math].
Entonces, en particular, hemos demostrado que [matemáticas] [x [x [x [x]]]] = N [/ matemáticas] no tiene soluciones para [matemáticas] 2001 <N <2401 [/ matemáticas]. La función permanece en [matemática] 2001 [/ matemática] y luego salta [matemática] 400 [/ matemática] números hasta llegar a [matemática] 2401 [/ matemática], perdiendo todos los valores intermedios.
Esto no debería ser una sorpresa: en general, la función crece como [math] x ^ 4 [/ math], pero también tiene que permanecer localmente constante durante ciertos intervalos debido a todos esos [math] [\ cdots ][/matemáticas. Entonces, cuando termina de mantenerse constante, descubre que tiene un gran salto, porque [math] x ^ 4 [/ math] crece bastante rápido.
