¿Qué es (1 + i) ^ i?

Cualquier número complejo [math] a + ib [/ math] puede expresarse en forma de [math] re ^ {i \ theta} [/ math] donde [math] \ theta [/ math] se conoce como el argumento principal . Usar el mismo procedimiento para esta pregunta rinde.

Sea [matemáticas] z = (1 + i) ^ i [/ matemáticas]

[matemáticas] r = \ sqrt {1 ^ 2 + 1 ^ 2} = \ sqrt {2} [/ matemáticas]

[matemática] arg z = \ arctan {\ left (\ dfrac {1} {1} \ right)} = \ dfrac {\ pi} {4} [/ math]

[matemáticas] (1 + i) ^ i = [\ sqrt {2} e ^ {\ frac {i \ pi} {4}}] ^ i = 2 ^ {\ frac {i} {2}} e ^ { – \ frac {\ pi} {4}} [/ matemáticas]

Como e es un número trascendental , es seguro decir que su múltiplo también será un número trascendental .

Los números complejos se cierran bajo suma, multiplicación, división (no por cero) y exponenciación. Por lo tanto, esperamos un número complejo como la respuesta a este y todos los problemas similares.

El punto [matemáticas] 1 + i [/ matemáticas] es el ángulo de 45 grados con magnitud [matemáticas] \ sqrt {2} [/ matemáticas]. Simplemente lo sabía, pero podríamos haberlo calculado a partir de [matemáticas] | 1 + i | = \ sqrt {1 ^ 2 + 1 ^ 2} = \ sqrt {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ ángulo ( 1 + i) = \ textrm {atan2} (\ frac 1 1) = \ frac \ pi 4 [/ math].

Será útil para nosotros escribir [matemáticas] \ sqrt {2} = e ^ {\ ln \ sqrt {2}} [/ matemáticas] para obtener todo en el exponente.

En otras palabras, [matemáticas] 1 + i = \ sqrt {2} e ^ {i \ frac \ pi 4} = e ^ {\ ln \ sqrt 2} e ^ {i \ frac \ pi 4} = e ^ { (\ ln \ sqrt {2} + i \ frac \ pi 4)}. [/ math] Entonces,

[matemáticas] (1 + i) ^ i = (e ^ {(\ ln \ sqrt {2} + i \ frac \ pi 4)}) ^ i = (e ^ {(i \ ln \ sqrt {2} – \ frac \ pi 4)}) = e ^ {- \ frac \ pi 4} e ^ {i \ ln \ sqrt 2} = \ dfrac {1} {e ^ {\ frac \ pi 4}} (\ cos ( \ ln \ sqrt 2) + i \ sin (\ ln \ sqrt 2)) [/ math]

[matemáticas] e ^ {\ frac \ pi 4} [/ matemáticas] es un número real alrededor de 2.2 que no tiene mucho que ver con el número complejo [matemáticas] e ^ {i \ frac \ pi 4} = \ dfrac {1 + i} {\ sqrt 2} [/ math].

Todos los números complejos se pueden escribir en forma polar [matemática] re ^ {i \ theta} [/ matemática], donde [matemática] r [/ matemática] es el módulo o norma o longitud del número complejo, y [matemática] \ theta [/ math] es el argumento o ángulo del número complejo.

Dibujando [math] (1 + i) [/ math] en el plano complejo, es fácil ver que [math] r = \ sqrt {2} [/ math] y [math] \ theta = \ frac {\ pi } {4} [/ matemáticas].

Entonces [math] (1 + i) = \ sqrt {2} e ^ {i \ frac {\ pi} {4}} [/ math].

Subiendo al poder número i, obtenemos:

[matemáticas] (1 + i) ^ i = \ sqrt {2} ^ i * e ^ {i \ frac {\ pi} {4} i} [/ matemáticas].

Eq A) Simplificando, [matemáticas] (1 + i) ^ i = \ sqrt {2} ^ i * e ^ {- \ frac {\ pi} {4}} [/ matemáticas].

Ahora solo necesitamos convertir [math] \ sqrt {2} ^ i [/ math] a su forma polar.

Establezca [math] \ sqrt {2} ^ i = re ^ {i \ theta} [/ math].

Tomando el registro de ambos lados, obtenemos:

[matemáticas] i * log (\ sqrt {2}) = log (r) + {i \ theta} [/ math].

Como las partes reales deben ser iguales, tenemos [math] 0 = log (r) [/ math], lo que significa [math] r = 1 [/ math].

Como las partes imaginarias deben ser iguales, tenemos [math] log (\ sqrt {2}) = {\ theta} [/ math].

Ahora conocemos la norma y el argumento de [math] \ sqrt {2} ^ i [/ math].

Escribiendo esto usando senos y cosenos: [math] \ sqrt {2} ^ i = cos (log (\ sqrt {2})) + i * sin (log (\ sqrt {2})) [/ math].

Finalmente, para obtener nuestra respuesta, solo tenemos que multiplicar por [matemáticas] e ^ {- \ frac {\ pi} {4}} [/ matemáticas] que obtuvimos de la ecuación A) anterior:

[matemáticas] (1 + i) ^ i = [e ^ {- \ frac {\ pi} {4}}] [cos (log (\ sqrt {2})) + i * sin (log (\ sqrt {2 }))[/matemáticas]

Aproximadamente 0.4288… + 0.1548 .. i.

La fórmula general es

Debería ser posible derivar la fórmula o presentar una prueba directa usando la fórmula de Euler y el álgebra básica. Para obtener más información sobre la fórmula, consulte Exponenciación compleja en MathWorld.