La observación aquí es que para cualquier número entero positivo [matemáticas] n [/ matemáticas],
[matemáticas] (n + 1)! = (n + 1) \ veces n! [/ matemáticas]
Por lo tanto, tenemos [math] (100! -99!) = (100 \ times99! -99!) [/ Math]
[math] = (100-1) \ times99! = 99 \ times99! [/ math], y de manera similar, [math] 99! -98! = 98 \ times98! [/ math] y [math] 98! -97 ! = 97 \ times97! [/ Math], simplificando la ecuación que tenemos:
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[matemáticas] \ frac {(100! -99!) ^ {100} – (99! -98!) ^ {100}} {(98! -97!) ^ {100}} [/ matemáticas]
[math] = \ frac {(99 \ times99!) ^ {100} – (98 \ times98!) ^ {100}} {(97 \ times97!) ^ {100}} [/ math]
[math] = \ frac {(99 \ times99 \ times98 \ times97!) ^ {100} – (98 \ times98 \ times97!) ^ {100}} {(97 \ times97!) ^ {100}} [/ math ]
[matemáticas] = \ frac {((99 \ times99) ^ {100} – 98 ^ {100}) \ times (98 \ times97!) ^ {100}} {97 ^ {100} \ times {97!} ^ {100}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {((99 \ times99) ^ {100} -98 ^ {100}) \ times98 ^ {100}} {97 ^ {100}} [/ matemáticas]
donde en la penúltima ecuación cancelamos [math] 97! ^ {100} [/ math] del numerador y denominador.
Desafortunadamente, no podemos ir más allá de la última línea; Esta es la respuesta más simple (que, como resultado, no es tan simple después de todo). ¡Pero la observación clave es que [matemáticas] (n + 1)! = (n + 1) \ veces n! [/ matemáticas]
Podemos ir más allá para obtener la respuesta numérica. Usaré Wolfram | Alpha [1] aquí, que dice que la última línea de arriba es aproximadamente [matemática] 3.74 \ times10 ^ {399} [/ matemática].
[1] http://www.wolframalpha.com/inpu…
