¿Qué es una explicación intuitiva de un espacio cociente? La Ciencia y la Tecnología mejoran el futuro

El cociente es unir cosas juntas.

En la multiplicación ordinaria cuentas grupos de cosas equivalentes. Por ejemplo, 5 grupos de 3 estudiantes cada uno. Los estudiantes no son todos iguales en todos los sentidos, pero son iguales para nuestros propósitos. Tal vez todos en el grupo comparten una tarea en el aula.

Cuando cociente, se enfoca en los círculos en la imagen inferior en lugar de las rosas individuales. Hay tres círculos. Si fuera el aula de arriba, después de la evaluación estaría hablando de 5 grupos en lugar de 15 estudiantes.

Entonces obtenemos espacios de cociente por clasificación de equivalencia: identificando algún criterio (“todos los estudiantes que forman parte del Grupo Rhino”) y luego eliminándolos a todos juntos para algún propósito. Aquí están algunos ejemplos:

Hay 88 teclas en un piano estándar. Sin embargo, de alguna manera A440
es equivalente a A880 y a A220:
Los lanzamientos obviamente no son lo mismo , pero el módulo se deshace de los diferentes registros que son. La relación de equivalencia sería hacer que todos los números que son una potencia de dos multiplicados entre sí sean una clase de equivalencia. Esa operación de cociente reduce las 88 teclas del piano a CD ♭ DE ♭ EFG ♭ GA ♭ AB ♭ B = la escala cromática.
Comenzando desde el plano complejo, puede hacer un semiplano clasificando por equivalencia cada número con su opuesto o cada número con su conjugado (intercambiando [matemática] \ sqrt {-1} \ longleftrightarrow – \ sqrt {-1} [/matemáticas]).
Cada vez que alguien habla en generalidades, como “los pobres son inteligentes” o “los pobres carecen de conciencia”, están hablando de una clase de equivalencia de personas en lugar de individuos.
de isomorfismos:

(fotos de John Starett)
es posible que desee cociente un espacio de curvas (por ejemplo, soluciones para algún sistema de ecuaciones que sea importante para usted) mediante una simetría natural. En las imágenes de arriba ∃ una simetría para explotar que puede simplificar la resolución de algunas EDO.
El artículo de Wikipedia sobre Orbifold toma la idea de usar una simetría para reducir algo aún más, y señala:

El espacio subyacente localmente se parece al espacio cociente de un espacio euclidiano bajo la acción lineal de un grupo finito. … formas automórficas … geometría de 3 múltiples … espacios CAT (k)

es decir, diferentes formas de cociente conducen a estructuras matemáticas interesantes. Creo también que el concepto de foliaciones de una variedad proviene de cocientear la variedad.
Kevin Lin dio una buena respuesta en la respuesta de Kevin Lin a Matemáticas: ¿Cuál es una explicación intuitiva de una topología de cociente? describiendo la operación del cociente en abstracto.
En combinatoria, puede comenzar con el número de permutaciones de un conjunto [matemáticas] n! \ over (nk)! [/ math] —por ejemplo, el número de posibles boletos de lotería, el número de posibles configuraciones de proteínas, el número de posibles cadenas de ADN, el número de formas en que las moléculas de gas podrían organizarse en un globo— pero luego tal vez te das cuenta de que el orden no importa. Por lo tanto, cociente o modula el número de posibles reordenamientos [math] / k! [/ Math] y esa es la relación entre combinaciones y permutaciones. Te has citado por un grupo simétrico como en las fotos de Starrett arriba. Excepto en lugar de ser una situación plana o una situación múltiple, esta es más una situación “numérica pura” o una estructura discreta más áspera.
Digamos que está tirando un dado de 100 lados y desea asignar probabilidades como 37%, 22% y 42%, en lugar de dar 100 eventos separados, cada uno correspondiente a una cara del dado. Entonces, haces una clase de equivalencia de 37 caras juntas y asignas el resultado del 37% a esa clase de equivalencia, en lugar de asignar el mismo resultado a las 37 caras individualmente. (Desviarse del camino: los jugadores de Dungeons & Dragons saben que un dado de 100 lados se puede simular con dos dados de 10 lados, esta es la operación del producto cartesiano , por lo que potencialmente hay algo que decir sobre la producción cartesiana y el cociente. que podríamos contar (combinatoria de nuevo) el número de formas de equivalencia de 37 caras de 100. Usar las matemáticas en sí mismo. De todos modos …)
Filosóficamente, Willard van Orman Quine definió el número entero 5 como “la clase de equivalencia de todos los conjuntos con cardinalidad 5”.
Puede tomar la línea real [math] \ mathbb {R} [/ math] y el módulo por uno. Entonces tiene la clase de equivalencia isomorfa a [math] [0,1) \ in \ mathbb {R} [/ math]. Los miembros de [math] [0,1) [/ math] se pueden agregar a los miembros de [math] \ mathbb {N} [/ math] para recuperar [math] \ mathbb {R} [/ math]. Por lo tanto, una computadora no necesita representar 25.293487298372 por separado de .293487298372; puede hacer su aritmética post decimal por separado de su aritmética de números enteros.
Puede tomar la línea real [math] \ mathbb {R} [/ math] y el módulo por signo. Entonces tienes [math] \ mathbb {R} ^ + \ cup \ {0 \} [/ math].
Puede tomar la línea real [math] \ mathbb {R} [/ math] y el módulo por signo, luego tomar la clase de equivalencia por [math] x \ mapsto \ lfloor x \ rfloor [/ math]. Este cociente son los números naturales (incluido el cero).
Yendo más allá de mi experiencia, puede haber una manera de comenzar con la línea real [math] \ mathbb {R} [/ math], o una línea gunky, o un campo no archimedean, y el cociente por algún tipo de cantidad infinitesimal, y volver a un nivel de densidad “menos suave” (algo más puntiagudo o separado).
Los números racionales [math] \ mathbb {Q} [/ math] se “sobrecargan” simplemente tomando proporciones de enteros, es decir, [math] \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} \ xrightarrow {\ rm into} \ Las proporciones (pares) de mathbb {Q} [/ math] son sobreyectivas, pero no se asignan inyectivamente a [math] \ mathbb {Q} [/ math]. La superposición sería de proporciones equivalentes (como “enarmónicas”) como [math] {2 \ over 4} = {16 \ over 32} = {19 \ over 38} [/ math]. Es por eso que siempre verá, cuando alguien escribe sobre una relación [matemática] p \ sobre q [/ matemática] de enteros, tiene que poner el calificador de que esto es “forma reducida”.
Si piensa en la familia de líneas que se basan en [matemáticas] (0,5) [/ matemáticas] es decir [matemáticas] y = mx + 5 [/ matemáticas], y piensa en la familia de líneas de igual pendiente como [ math] y = 3.2x + b [/ math], y piensa en el espacio de todas las líneas posibles en el plano parametrizado por [math] (m, b) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb { R} [/ math] –entonces podría sobreparamizar eso definiendo líneas que se basen en cualquier punto [math] (x, y) [/ math] junto con una pendiente [math] m \ in [0, \ infty) [/ matemática] y todas estas familias de líneas están relacionadas por operaciones de cociente.
¿Cuál es la diferencia entre el grupo de dos interruptores de luz?

foto de Nathan Carter
[matemáticas] \ uparrow \ quad = \ quad \ downarrow ^ {- 1} \ quad = \ quad {\ left (\ uparrow ^ {- 1} \ right)} ^ {- 1} [/ math]
[matemáticas] \ leftarrow \ quad = \ quad \ rightarrow ^ {- 1} \ quad = \ quad {\ left (\ leftarrow ^ {- 1} \ right)} ^ {- 1} [/ math]

y el grupo libre en dos generadores

[matemáticas] aba ^ {- 1} b ^ {- 1} aaaba \ en F_2 [/ matemáticas]
[matemáticas] aba ^ {- 1} b ^ {- 1} baab = aba ^ {- 1} \! \! – \! aab = ab \! \! – \! – ab \ en F_2 [/ matemáticas]
?

Bueno, en el grupo libre [matemáticas] bbbb [/ matemáticas] se considera ir (digamos al norte) cuatro pasos. Pero con un interruptor de luz si sigue presionando ↑↑↑↑↑↑ no encenderá la luz más brillante; ya está en la posición “encendido”. En términos matemáticos, ↑ es idempotente, es decir, ↑↑ = ↑, entonces ↑↑↑↑↑↑↑↑ … ↑ = ↑.

Aplastar todos los [math] bbbbb = \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow [/ math] con idempotencia es una operación de cociente.
El grupo simétrico de orden 3 opera en triples ordenados como [matemática] (B, A, C) [/ matemática] y [matemática] (C, A, B) [/ matemática] o, de manera equivalente, en triángulos, si los triángulos se piensa de cierta manera.

parte superior derecha. imagen de nuevo por Nathan Carter
Es más fácil para mí describir con precisión en qué “espacio” está operando el grupo utilizando cocientes. Comience con el conjunto de todos los triángulos en el plano plano infinito (escaleno, isósceles, obtuso, equiangular) y cociente de todas las ubicaciones (por ejemplo, cociente de distancia de los baricentros). Ahora estos son solo triángulos que no se encuentran en ningún lado. El siguiente cociente aleja todas las orientaciones (rotacionales) de los triángulos, eligiendo “12 en punto / norte” como la “parte superior”, es decir, cualquier ángulo recibe el nombre “uno” o “a” o algo así [[[implícito en esto Supongo que estamos coqueteando todos los nombres de los ángulos y lados, fijándolos como ABC o lo que sea]]] en ese punto superior o norte. Por último, cociente de todos los ángulos internos: ahora no importa si era isósceles o escaleno o lo que sea. Pero todavía nos quedan los nombres de los lados y los ángulos, siendo uno el superior, el otro izquierdo, el otro correcto. (Tiene que ser más o menos así por todos los cocientes realizados antes.) Descarte los nombres laterales y ahora estos triángulos “abstraídos” o clases de triángulos de equivalencia son lo que es isomorfo a los triples ordenados [matemáticas] \ sym (1,2,3 )[/matemáticas]. Al retroceder, podríamos realizar operaciones como voltear el avión euclidiano original y esto correspondería a las operaciones grupales en el espacio fuertemente orientado. O Empujando hacia adelante desde el plano plano infinito original al espacio cociente y haciendo operaciones de intercambio [matemática] \ sigma_ {1,2} [/ matemática] o de desplazamiento [matemática] \ sigma_ {3,1,2} [/ matemática] en lo citado induciría igualmente algo más complicado, pero equivalente a una operación grupal, en el plano euclidiano.
De vuelta a la música. Podríamos tomar las 88 teclas y soltar todas las negras (proyectar en las teclas blancas). Ahora hemos elegido la clave de C. Coeficiente de las octavas y guardar esto a un lado por un momento. … Volviendo a las 88 teclas nuevamente, podríamos haber elegido cualquier escala diatónica de la base cromática. Por ejemplo, la clave de D tiene DEFF♯ GABCC♯. Ahora hagamos el mismo ejercicio que las teclas blancas, excepto hacerlo para cada tecla posible (¿ incluso enarmónicos? Bueno, realmente no me importa si lo haces o no). Ahora tome la clase de equivalencia de todos estos sustitutos “clave blanca” o escalas diatónicas, ahora tiene re mi fa sol la ti.
Los números pares son la clase de equivalencia de enteros que modulo-2 a cero.

Álgebra abstractaExplicaciones intuitivasMatemáticas