¿Hay pruebas de que [matemáticas] a * b = b * a [/ matemáticas]?

Si.

Números naturales:

[matemáticas] S (n) [/ matemáticas] es la función sucesora. Se define para todos los números naturales, y [math] \ neg \ exist n \ in \ mathbb N; S (n) = 0 [/ math].

Supongo que ya hemos definido la suma y probamos su asociatividad y conmutatividad. Como referencia, aquí está la definición de suma:

[matemáticas] \ qquad \ forall a, b \ in \ mathbb N; a + S (b) = S (a + b) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ forall a \ in \ mathbb N; a + 0 = a [/ math]

Aquí está la definición de multiplicación:

[matemáticas] \ qquad \ forall a, b \ in \ mathbb N; a * S (b) = a + (a * b) [/ matemáticas]

[math] \ qquad \ forall a \ in \ mathbb N; a * 0 = 0 [/ math]

Entonces, para probar que [matemáticas] a * b = b * a [/ matemáticas], podemos usar la inducción.

[matemáticas] \ qquad [/ matemáticas] El caso base es probar que [matemáticas] a * 0 = 0 * a [/ matemáticas]. Esto es equivalente a la declaración [matemática] 0 * a = 0 [/ matemática]. Lo demostraremos por inducción.

[math] \ qquad \ qquad [/ math] El caso base es [math] 0 * 0 = 0 [/ math]. Esto es cierto por definición.

[matemáticas] \ qquad \ qquad [/ matemáticas] Ahora tenemos que demostrar que [matemáticas] (0 * n = 0) \ implica (0 * S (n) = 0) [/ matemáticas].

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad [/ matemáticas] Suponga que [matemáticas] 0 * n = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad0 * S (n) = 0 * S (n) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad0 * S (n) = 0 + (0 * n) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad [/ matemáticas] Por hipótesis,

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad0 * S (n) = 0 + 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad0 * S (n) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad [/ matemáticas] Probado.

[matemáticas] \ qquad \ qquad [/ matemáticas] Probado.

[matemáticas] \ qquad [/ matemáticas] Ahora tenemos que demostrar que [matemáticas] (a * b = b * a) \ implica (a * S (b) = S (b) * a) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad [/ matemáticas] Suponga que [matemáticas] a * b = b * a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad a * S (b) = a * S (b) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad a * S (b) = a + (a * b) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad [/ matemáticas] Primero necesito demostrar que [matemáticas] a * 1 = a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad a * 1 = a * 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad a * 1 = a * S (0) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad a * 1 = a + (a * 0) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad a * 1 = a + 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad a * 1 = a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad [/ matemáticas] Probado.

[matemáticas] \ qquad \ qquad a * S (b) = (a * 1) + (a * b) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad [/ matemáticas] Ahora necesito demostrar que [matemáticas] a * 1 = 1 * a [/ matemáticas] por inducción.

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad [/ matemáticas] El caso base es [matemáticas] 0 * 1 = 1 * 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad0 * 1 = 1 * 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad0 * S (0) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad0 + (0 * 0) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad0 + 0 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad0 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad [/ math] Probado.

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad [/ matemáticas] Ahora necesito demostrar que [matemáticas] (a * 1 = 1 * a) \ implica (S (a) * 1 = 1 * S (a)) [/ matemáticas]

[matemática] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad [/ math] Suponga [math] a * 1 = 1 * a [/ math]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad 1 * S (a) = 1 * S (a) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad 1 * S (a) = 1 + (1 * a) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad [/ math] Por hipótesis,

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad 1 * S (a) = 1 + (a * 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad 1 * S (a) = 1 + a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad 1 * S (a) = a + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad 1 * S (a) = a + S (0) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad 1 * S (a) = S (a + 0) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad 1 * S (a) = S (a) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad 1 * S (a) = S (a) * 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad [/ math] Probado.

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad [/ matemáticas] Probado.

[matemáticas] \ qquad \ qquad a * S (b) = (1 * a) + (a * b) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad [/ matemáticas] Por hipótesis,

[matemáticas] \ qquad \ qquad a * S (b) = (1 * a) + (b * a) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad [/ matemáticas] Ahora necesito demostrar que [matemáticas] (b + c) * a = (b * a) + (c * a) [/ matemáticas] por inducción.

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad [/ matemáticas] El caso base es [matemáticas] (b + c) * 0 = (b * 0) + (c * 0) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (b + c) * 0 = (0 * b) + (0 * c) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad0 = 0 + 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad0 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad [/ math] Probado.

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad [/ matemáticas] Ahora tenemos que demostrar que [matemáticas] ((b + c) * a = (b * a) + (c * a)) \ implica ((b + c ) * S (a) = (b * S (a)) + (c * S (a))) [/ math]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad [/ math] Suponga que [math] (b + c) * a = (a * b) + (a * c) [/ math]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (b + c) * S (a) = (b + c) * S (a) [/ math]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (b + c) * S (a) = (b + c) + ((b + c) * a) [/ math]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad [/ math] Por hipótesis,

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (b + c) * S (a) = (b + c) + ((b * a) + (c * a)) [/ math]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (b + c) * S (a) = b + c + (b * a) + (c * a) [/ math]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (b + c) * S (a) = b + (b * a) + c + (c * a) [/ math]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (b + c) * S (a) = (b * S (a)) + (c * S (a)) [/ math]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad [/ math] Probado.

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ qquad [/ matemáticas] Probado.

[matemáticas] \ qquad \ qquad a * S (b) = (1 + b) * a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad a * S (b) = (b + 1) * a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad a * S (b) = (b + S (0)) * a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad a * S (b) = S (b + 0) * a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad a * S (b) = S (b) * a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad [/ matemáticas] Probado.

[matemáticas] \ qquad [/ matemáticas] Probado.

Enteros:

El número entero [matemática] [(a, b)] [/ matemática] es básicamente [matemática] ab [/ matemática] donde [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​números naturales.

Aquí está la definición de multiplicación de enteros:

[matemáticas] \ qquad \ forall a, b, c, d \ in \ mathbb N; [(a, b)] * [(c, d)] = [((a * c) + (b * d), (a * d) + (b * c))] [/ matemáticas]

Ya hemos demostrado la conmutatividad de la multiplicación en números naturales, por lo que esta vez es mucho más fácil demostrar que [matemáticas] a * b = b * a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad [/ matemáticas] Sea [matemáticas] a = [(c, d)] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad [/ matemáticas] Sea [matemáticas] b = [(e, f)] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad a * b = b * a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad [(c, d)] * ​​[(e, f)] = [(e, f)] * [(c, d)] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad [((c * e) + (d * f), (c * f) + (d * e))] = [((e * c) + (f * d), (e * d) + (f * c))] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad [((c * e) + (d * f), (c * f) + (d * e))] = [((c * e) + (d * f), (d * e) + (c * f))] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad [((c * e) + (d * f), (c * f) + (d * e))] = [((c * e) + (d * f), (c * f) + (d * e))] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad [/ matemáticas] Probado.

Numeros racionales:

El número entero [matemática] [(a, b)] [/ matemática] es básicamente [matemática] \ dfrac {a} {b} [/ matemática] donde [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática ] son ​​números enteros.

Aquí está la definición de multiplicación racional:

[matemáticas] \ qquad \ forall a, b, c, d \ in \ mathbb Z; [(a, b)] * [(c, d)] = [(a * c, b * d)] [/ math ]

Ya hemos demostrado la conmutatividad de la multiplicación en enteros, por lo que esta vez es fácil probar que [matemáticas] a * b = b * a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad [/ matemáticas] Sea [matemáticas] a = [(c, d)] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad [/ matemáticas] Sea [matemáticas] b = [(e, f)] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad a * b = b * a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad [(c, d)] * ​​[(e, f)] = [(e, f)] * [(c, d)] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad [(c * e, d * f)] = [(e * c, f * d)] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad [(c * e, d * f)] = [(c * e, d * f)] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad [/ matemáticas] Probado.

Numeros reales:

El número real [math] r [/ math] está representado por [math] (\ {x \ in \ mathbb Q | x r \}) [/ matemáticas].

Aquí está la definición de multiplicación real:

[math] \ qquad \ forall a, b \ in \ mathbb R; (a, b \ geq0 \ implica a * b = (\ {p * q | p \ in a _ {[1]} \ land q \ in b_ {[1]} \ land p, q \ geq0 \} \ cup \ {x \ in \ mathbb Q | x <0 \}, \ {p * q | p \ in a _ {[2]} \ land q \ en b _ {[2]} \})) [/ math]

[math] \ forall a, b \ in \ mathbb R; a * b = – ((- a) * b) = – (a * (- b)) = (- a) * (- b) [/ math ]

Ahora para probar [matemáticas] a * b = b * a [/ matemáticas]

[math] \ qquad [/ math] En el primer caso, [math] a, b \ geq0 [/ math].

[matemáticas] \ qquad \ qquad a * b = b * a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad (\ {p * q | p \ en a _ {[1]} \ land q \ in b _ {[1]} \ land p, q \ geq0 \} \ cup \ {x \ in \ mathbb Q | x <0 \}, \ {p * q | p \ en a _ {[2]} \ land q \ in b _ {[2]} \}) = (\ {p * q | p \ in b _ {[1]} \ land q \ en a _ {[1]} \ land p, q \ geq0 \} \ cup \ {x \ in \ mathbb Q | x <0 \}, \ {p * q | p \ in b _ {[2]} \ land q \ in a _ {[2]} \}) [/ math]

[matemáticas] \ qquad \ qquad (\ {q * p | q \ in b _ {[1]} \ land p \ in a _ {[1]} \ land q, p \ geq0 \} \ cup \ {x \ in \ mathbb Q | x <0 \}, \ {q * p | q \ in b _ {[2]} \ land p \ in a _ {[2]} \}) = (\ {p * q | p \ in b _ {[1]} \ land q \ en a _ {[1]} \ land p, q \ geq0 \} \ cup \ {x \ in \ mathbb Q | x <0 \}, \ {p * q | p \ in b _ {[2]} \ land q \ in a _ {[2]} \}) [/ math]

[matemáticas] \ qquad \ qquad [/ matemáticas] Probado.

[matemática] \ qquad [/ matemática] En el segundo caso, [matemática] a \ geq0 \ land b <0 [/ matemática].

[matemáticas] \ qquad \ qquad a * b = b * a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad- (a * (- b)) = – ((- b) * a) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad- (a * (- b)) = – (a * (- b)) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad [/ matemáticas] Probado.

[math] \ qquad [/ math] En el tercer caso, [math] a <0 \ land b \ geq0 [/ math]. Esto es equivalente al segundo caso.

[math] \ qquad [/ math] En el cuarto caso, [math] a <0 \ land b <0 [/ math].

[matemáticas] \ qquad \ qquad a * b = b * a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad – ((- a) * (- b)) = – ((- b) * (- a)) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad – ((- a) * (- b)) = – ((- a) * (- b)) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad [/ matemáticas] Probado.

[matemáticas] \ qquad [/ matemáticas] Probado.

Números complejos:

El número complejo [matemática] (a, b) [/ matemática] es básicamente [matemática] a + bi [/ matemática] donde [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​números reales.

Aquí está la definición de multiplicación compleja:

[matemáticas] \ qquad \ forall a, b, c, d \ in \ mathbb R; (a, b) * (c, d) = ((a * c) – (b * d), (a * d) + (b * c)) [/ matemáticas]

Ahora para probar [matemáticas] a * b = b * a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad [/ matemáticas] Sea [matemáticas] a = (c, d) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad [/ matemáticas] Sea [matemáticas] b = (e, f) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad a * b = b * a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad (c, d) * (e, f) = (e, f) * (c, d) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad ((c * e) – (d * f), (c * f) + (d * e)) = ((e * c) – (f * d), (e * d) + (f * c)) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad ((c * e) – (d * f), (c * f) + (d * e)) = ((c * e) – (d * f), (d * e) + (c * f)) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad ((c * e) – (d * f), (c * f) + (d * e)) = ((c * e) – (d * f), (c * f) + (d * e)) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad [/ matemáticas] Probado.

Si. De hecho, esto es algo básico para probar cuando entras en la teoría de números. Ni siquiera es necesariamente difícil de probar.

Las complicaciones son que tienes que probarlo una y otra vez, y cómo lo pruebas depende en gran medida de cómo estás definiendo la multiplicación y los números.

Por ejemplo, una de las formas estándar de definir números naturales es:

[math] \ mathbb {N} [/ math] es un conjunto con las siguientes propiedades:

• [matemáticas] 1 \ en \ mathbb {N} [/ matemáticas]
• Hay una función inyectiva [math] S: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N} [/ math]
• [math] S (n) \ neq 1 [/ math] para cualquier [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math]
• Para cualquier proposición [matemática] P (n) [/ matemática], si tiene [matemática] P (1) [/ matemática] y tiene [matemática] \ forall n \ in \ mathbb {N}, (P (n ) \ implica P (S (n))) [/ math], entonces tienes [math] \ forall n \ in \ mathbb {N}, P (n) [/ math].

A partir de esto, puede definir la suma:

• [matemáticas] a + 1 = S (a) [/ matemáticas]
• [matemáticas] a + S (b) = S (a + b) [/ matemáticas]

y multiplicación:

• [matemáticas] a \ cdot 1 = a [/ matemáticas]
• [matemáticas] a \ cdot S (b) = (a \ cdot b) + a [/ matemáticas]

A partir de ahí, tiene la esperanza de poder demostrar que [matemáticas] a \ cdot b = b \ cdot a [/ math] en números naturales. Y, como dije, no es realmente difícil.

Pero eso son solo números naturales. No ayuda cuando se habla de números racionales, o números reales, o números surrealistas, o números complejos.

Y realmente no ayuda cuando se habla de cuaterniones (que de alguna manera están relacionados con números complejos de la misma manera que los números complejos están relacionados con números reales). De hecho, con los cuaterniones no es cierto que [math] a \ cdot b = b \ cdot a [/ math] en general.

No lo es, siempre.

Para la mayoría de los números a los que probablemente esté acostumbrado, comienza con los números naturales y es heredado por los enteros, los racionales, los números reales, los números complejos … Una vez que tiene “los” números naturales, la multiplicación de las otras álgebras se desarrolla a partir de él, apelando al comportamiento conocido de los números naturales para mostrar que el nuevo sistema “hereda” una multiplicación conmutativa. Esto es realmente bastante sencillo.

Probablemente la parte difícil sea demostrar que la multiplicación de números naturales es conmutativa. Debe definir la suma y mostrar que es conmutativa. Luego defina la multiplicación por el número natural más pequeño (0 o 1, de acuerdo con la doctrina y el gusto), tanto como multiplicación izquierda como multiplicación derecha; por ejemplo, [matemáticas] a \ veces 0 = 0 \ veces a = 0 [/ matemáticas], con una consistencia obvia para [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas], o (más tediosamente) [matemáticas] a \ veces 1 = a , 1 \ veces a = a [/ math], con consistencia obvia para [math] a = 1 [/ math]. Luego defina inductivamente [math] a \ times \ Succ (b) = (a \ times b) + a [/ math]. Ahora demuestre que [math] \ Succ (a) \ times b = a \ times b + b [/ math], que es un poco más difícil de lo que se dijo, y [math] a \ times b = b \ times a [/ matemáticas] sigue. Esto es solo un bosquejo del proceso. No recomiendo tratar de llenar los vacíos con ingenio materno. Aún así, una vez que tiene los números naturales, el resto es fácil, hasta que llega a donde no es cierto (cuaterniones, y cosas menos como “números”, como rotaciones sobre un punto fijo en tres dimensiones euclidianas).

Quizás la lógica de lo siguiente convencerá. Lo siguiente puede ser más fácil de entender si corta un rectángulo oblongo (es decir, uno en el que las longitudes de su base y altura no son iguales, y gira el rectángulo como se describe a continuación).

Considere un rectángulo con dimensiones: base = a y altura = b

El área de un rectángulo es base x altura, por lo que el área de este rectángulo es: axb = ab

Ahora, si este rectángulo se gira en sentido horario 90 grados, es base = b, y altura = a

Usando la misma fórmula para encontrar su área, base x altura = bxa = ba

Como solo la orientación del rectángulo ha cambiado con la rotación, su área no.

En consecuencia, su área en la primera posición es idéntica a su área en la segunda posición.

Entonces ab = ba. QED

Varias personas han proporcionado pruebas basadas en la geometría, pero no han notado que esta prueba tiene dos fallas:

1. Solo funciona para valores positivos, ya que las mediciones geométricas no pueden ser negativas.
2. Requiere que luego demostremos que el área de un rectángulo permanece constante cuando se gira.

Para resolver el primer problema, también deberá probar que -a = -1 * a.

El segundo problema ilustra la naturaleza de los sistemas axiomáticos: en algún momento, necesitará tener algunas declaraciones que no se puedan probar. Si puede probar que el área de un rectángulo permanece constante cuando gira en el espacio euclidiano, esa prueba dependerá de algunos otros axiomas.

Una prueba no tan rigurosa es notar que si [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​números reales, entonces [matemática] ab [/ matemática] da el área de una [matemática] a [/ math] por [math] b [/ math] rectángulo. Girar el rectángulo de lado no agrega ni quita ningún área del rectángulo original, por lo que las dimensiones de nuestro rectángulo girado, que es [matemática] b [/ matemática] por [matemática] a [/ matemática], es el igual que nuestro original [math] a [/ math] de [math] b [/ math] rectange. Es decir, [matemáticas] ab = ba [/ matemáticas].

Supongamos que hay un rectángulo:

la longitud es un

ancho es b

entonces el área del rectángulo puede ser b * a

y también puede ser a * b

entonces a * b = b * a

Creo que es un axioma, pero hay pruebas por ahí.

Al menos para los números naturales.

En resumen, por definición [matemáticas] 0 \ in \ N, S (n) = n + 1, a \ veces 0 = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] a \ veces S (b) = a + (a \ veces b ) [/ math] para que el resto se pueda probar por inducción.

Prueba de identidad
Divide ambos lados de la ecuación por un
(a * b) / a = (b * a) / a
b = b
También puede probar dividiendo por b, obteniendo
a = a
o si necesita ir más allá, divida la última ecuación. por un, y obtener
1 = 1

Depende de lo que significa / hace la operación *.

Por ejemplo;

a + b = b + a

pero

ab [matemáticas] \ neq [/ matemáticas] ba

¡es porque en el conjunto del número real R, * (multiplicar) es un grupo abeliano!