¿Por qué querríamos transformar las coordenadas de un vector a otra base? ¿Hay ejemplos de la vida real en los que esto sea necesario?

Vengo de un fondo de gráficos, así que permítanme agregar un ejemplo con el que estoy familiarizado.

Un método para crear CGI se llama trazado de rayos.

Básicamente, por cada píxel proyecta rayos (representados por dos vectores 3D) en la escena, y encuentra la intersección más cercana con toda la geometría, luego calcula la iluminación a partir de todos los datos de la escena.

Ahora, los objetos complejos generalmente están formados por muchos polígonos

Sería demasiado tiempo probar cada rayo contra cada polígono y, por lo tanto, para acelerar la intersección con el modelo y los rayos, se construyen estructuras de partición espacial.

Pero si queremos tener muchas instancias del mismo objeto en el mundo, con diferentes rotaciones, traslaciones y escalas, en lugar de transformar el modelo muchas veces, entonces construya y almacene las estructuras espaciales de partición para cada una (uf, solo pensando en eso me hace sentir náuseas) es mucho más eficiente simplemente almacenar el modelo y las estructuras de aceleración en un conjunto de coordenadas y representar cada instancia con una única base 3D homogénea (una matriz 4 × 4).

Luego, cuando se cruza un rayo con el modelo instanciado, el rayo se transforma inversamente por la base de la instancia y se prueba contra el modelo compartido y los datos preprocesados. ¿Tiene sentido? Esta es una forma mucho más eficiente y sensata de hacerlo.

Editar: Nilay Engineer me preguntó por qué usamos el inverso de la base para transformar el rayo. Buena pregunta.

La matriz de transformación para cada ‘instancia’ se usa para transformar un punto del espacio modelo en el espacio mundial .

El espacio modelo es donde se almacena el modelo y todas sus estructuras de datos de aceleraciones geométricas, todas centradas en el origen. Es como pensar en construir un automóvil en su garaje. No te importa el resto del mundo, el garaje está en el centro de las cosas. El espacio del garaje es lo importante. Si tuviera que describir la geometría del automóvil, podría decir “1.5 m de la pared izquierda, 0.7 m del piso, 2.1 m de la pared trasera”

Pero cuando lo sacas a dar una vuelta, entras en el espacio mundial . Hay otros automóviles, árboles, edificios, personas, montañas, etc. y no puede describir TODO lo que hay en el espacio de su garaje , debe describirlos en relación con el mundo entero . Tal como lo hacemos con mapas, longitud y latitud.

En la imagen, la matriz M combina traducción, rotación y escala, y transforma el pequeño modelo predeterminado en el espacio modelo en el gran automóvil para que pueda conducir por todo el mundo.

Ahora, cuando rastreamos, comenzamos con un rayo en el espacio mundial (el rayo azul) y queremos intersecarlo con el automóvil grande del mundo, pero en realidad no tenemos los datos para el automóvil grande, solo almacenamos datos para el pequeño automóvil, por lo que tenemos que transformar el rayo por el inverso de M. Luego podemos hacer la prueba de intersección, encontrar la intersección y luego transformarla nuevamente en el mundo con M. Espero que sea lo suficientemente claro.

El hecho de que el álgebra lineal sea invariable bajo un cambio de base es probablemente uno de los hechos más importantes en todas las matemáticas.

Una razón es que, para la mayoría de los problemas, los ejes “estándar” no tienen sentido. Por ejemplo, si me dan un conjunto de datos de 5.000 dimensiones que describe cuánto le gusta a la gente una larga lista de películas junto con información demográfica sobre estas personas, entonces los ejes significativos del conjunto de datos son los rasgos de personalidad de las personas. Obviamente, desea transformarse a esa base para comprender la situación, lo que quizás haría utilizando el análisis de componentes principales.

En un dominio completamente no relacionado, podría tener un problema geométrico que podría simplificarse sustancialmente al rotar todo para que todo tenga coordenadas agradables.

Esta es una técnica computacional muy básica, una que uso docenas de veces al día, ya sea explícita o implícitamente. Es difícil describir aplicaciones individuales porque tendría que describir los problemas en sí mismos y todos los pasos no relacionados que conducen al cambio de base y los pasos no relacionados que siguen. Sin embargo, basta con decir que un gran porcentaje de problemas en todas las áreas de las matemáticas se puede reducir a la comprensión de la estructura de un grupo de matrices en particular, y esta noción de cambio de base es una de las cosas más fundamentales que le permite comprender una matriz grupo.

Para decirlo de otra manera, la mayoría de las veces estoy trabajando con vectores que ni siquiera pienso que tengan coordenadas.

Ver la imagen de arriba. Podemos ver que los datos que estamos tratando tienen una mayor variación en la dirección [matemática] U_1 [/ matemática] y si seleccionamos la base para ser [matemática] U_1 [/ matemática] y [matemática] U_2 [/ matemática] nosotros vea que [math] U_1 [/ math] captura la mayor parte de la variación y diga si la variación en la dirección de [math] U_2 [/ math] es muy menor de lo que podemos reducir la dimensión del sistema de coordenadas y digamos usar solo uno de los valores describe un punto de datos. Parece muy mala aproximación en 2-D pero si generalizamos esto a una dimensión muy alta, entonces este es un concepto muy poderoso.
Formalmente, este es el procedimiento que se llama reducción de dimensionalidad utilizando PCA (análisis de componentes principales) .

Estos son datos en 3-D que se pueden convertir fácilmente a 2-D sin mucha pérdida, si la aplicación no es tan sensible.
Esto ya se ve poderoso en 3-D. Piense en ello en nD. 😛

La pregunta original es equivalente a la pregunta.

¿por qué querríamos multiplicar a la izquierda un vector (base) por una matriz invertible?

Como, para una dirección, si la multiplicación a la izquierda de un vector por una matriz cambia la base del espacio que contiene el vector, entonces la matriz representa una función invertible, simplemente porque la función se invierte cambiando la base de nuevo .
[matemáticas] \ textbf {Ax} = \ textbf b [/ matemáticas]

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Hay muchos casos en los que uno quiere multiplicar a la izquierda un vector por una matriz invertible, algunos ya se le han ocurrido (por ejemplo: resolver ecuaciones vectoriales, diagonalizar una matriz), algunos ya están mencionados por Amit, estoy agregando algunos detalles a ellos y agregando un poco más ……

1. El objetivo mismo del análisis de componentes principales es identificar la base más significativa para volver a expresar un conjunto de datos, esto por definición requiere un cambio de base. [1]
2. [math] \ textbf {x} [/ math] puede verse como una señal que representa digitalmente cantidades como voltaje, corriente, fuerza, velocidad, presión, flujo, etc. y [math] \ textbf A [/ math] puede verse como un operador que cambia la base de la señal fija [2], un ejemplo del cual es la transformada discreta de Fourier . Las transformaciones rápidas de Fourier se pueden derivar factorizando la matriz DFT en factores [matemáticos] NlogN [/ matemáticos] si [matemáticos] N = 2 ^ m [/ matemáticos]. Estas transformaciones de Fourier tienen una amplia gama de aplicaciones de la vida real, desde la multiplicación de enteros grandes hasta DSP …
3. El cambio de la convolución en una multiplicación , realizada por la transformada de Fourier, es un cambio de bases en el espacio lineal donde se definen las señales.
4. Queremos cambiar la base a la base incondicional (que sigue siendo la base, no importa cómo se reordene), en muchos problemas de representación y procesamiento de señales (por ejemplo, compresión de datos [3]).
5. Un pseudoinverso inverso o incluso no resolverá [math] \ textbf x [/ math] en una ecuación diferencial de vectores: [math] \ boldsymbol {\ dot {x}} = \ textbf {Ax} [/ math], que se usa para describir un sistema como un sistema de control o un filtro digital o un algoritmo numérico. Pero, si se realiza un cambio de base para que [math] \ textbf A [/ math] sea diagonal (o forma de Jordan), la ecuación se convierte en un conjunto de DEs de primer orden desacopladas (o casi desacopladas) y sabemos que la solución de una DE de primer orden es exponencial .

[1] Página sobre Salk
[2] La convolución es un ejemplo del caso cuando, [math] \ textbf A [/ math] altera las características de la señal, pero dentro de un sistema de base fija.
[3] Página sobre Stanford

Dale Thomas dio una gran respuesta para los gráficos, aquí hay una similar y más simple para los videojuegos.

Digamos que tenemos un personaje de videojuego con un lanzagranadas que quiere disparar una granada. Al final del hocico del lanzagranadas hay un marcador que define su espacio local con el eje Z positivo apuntando en la dirección del fuego. Pero el motor de física quiere el vector de velocidad en el espacio mundial.

Al multiplicar el vector unitario para la dirección del hocico por la cantidad de fuerza deseada, luego transformarlo en el espacio mundial, obtenemos rápida y fácilmente el vector de fuerza para agregar a la granada para que dispare en la dirección correcta.

A menudo, los vectores aparecen como objetos / fenómenos geométricos y físicos y no hay bases / marcos naturales. Pero nosotros, los observadores, vemos en ciertos marcos de referencias y escribimos la información sobre el fenómeno en coordenadas específicas. Primero hay puntos, líneas, superficies, etc. (geometría), luego siguen números, ecuaciones (álgebra / coordenadas / representaciones). .

Las observaciones que tenemos pueden no ser fáciles de analizar. Entonces, para comprender la profundidad y la naturaleza de las cosas que suceden, es posible que tengamos que recurrir a otros marcos en los que se revela fácilmente una mayor estructura del proceso. Ejemplos importantes de tales cambios son los cambios a Fourier, Eigen. Los valores y las direcciones de Eigen contienen toda la información necesaria para comprender las propiedades geométricas de una transformación. La base de Fourier ayuda a comprender los pesos de las funciones simétricas de interés. Por ejemplo, el espectro de Fourier de una función en la línea real arroja más luz sobre las simetrías de traducción de la función.

Por lo tanto, podemos ver el cambio de base como un medio para obtener más información estructural de manera efectiva. También ayuda a obtener una mejor imagen utilizando la información parcial en diferentes cuadros a veces. Ejemplos de esto incluyen el uso del análisis de Fourier en la detección comprimida (ideas de bases coherentes, etc.) y las descomposiciones espectrales en todas las áreas de las matemáticas.

Más o menos, física. Todo ello. Y si no puede transformar x-> ka, también desaparece gran cantidad de EE.

Realmente, ¿no son todos los vectores transformadores de la vida de una base a otra?

Piense en describir las órbitas de los planetas usando un origen que no sea el centro de gravedad del sistema solar. Las ecuaciones de movimiento serían intratables. Al elegir el sistema de coordenadas, la ecuación se convierte en una ecuación para una fuerza central. Es más limpio, más rápido, más fácil de usar y más fácil de entender.

Elegir el sistema de coordenadas correcto se realiza en otros problemas por la misma razón. Para simplificar las cosas y facilitar las soluciones a los problemas.

Porque, mmm.