¿Se pueden usar las matemáticas para probar soluciones incorrectas?
La respuesta es las tres
- Si;
- Probablemente no; y
- Realmente no.
Así que déjame explicarte.
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- ¿Qué debo saber para usar correctamente la notación sigma?
- Dada la secuencia 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,. . . ¿Cuál es el decimoquinto término? ¿Cuál es el centésimo término? ¿Cuál es el término 1 millón?
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si
La matemática parte de algunos supuestos (axiomas) y cierta lógica (reglas de inferencia) para deducir algunas consecuencias (teoremas). Todo lo cual es tautólogo: si asumes los axiomas y sigues las reglas de inferencia, entonces los teoremas son válidos (y probados, pero no necesariamente verdaderos).
Este sistema formal de manipulación de símbolos es riguroso, pero más bien sufre el fenómeno de la basura que entra y sale. Puede asumir lo que quiera y probar cualquier cosa, incluso lo que podría llamar “soluciones incorrectas”.
Probablemente no
Bien, entonces descartemos la basura eligiendo solo axiomas que sean “verdaderos”. De esa manera, siempre que ellos (y la lógica que estamos usando) sean consistentes, los teoremas no solo serán válidos sino que también serán “verdaderos”. Dejando de lado la semántica de la verdad (la razón de las citas de miedo alrededor de “verdadero”), todavía tenemos el problema de que un sistema formal lo suficientemente sofisticado como para capturar la aritmética en los números naturales no puede probar su propia consistencia (un resultado conocido como el segundo de Teoremas de incompletitud de Gödel).
Para demostrar que un sistema formal de aritmética en números naturales, como los axiomas de Peano, es consistente, necesitamos un sistema “más poderoso”, como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), que a su vez no puede probar su propia consistencia. . Pero si creemos que ZFC (y la mayoría de las matemáticas se basa en él), entonces podemos demostrar que la Aritmética de Peano es consistente, en cuyo caso sabemos que no podemos probar resultados incorrectos como [matemática] 1 + 2 = 4 [/ matemática]. Como esto depende de la suposición acerca de ZFC, solo podemos decir que probablemente no sea posible probar [matemáticas] 1 + 2 = 4 [/ matemáticas].
Realmente no
¿Adivina qué sucedería si probáramos un resultado incorrecto como [matemática] 1 + 2 = 4 [/ matemática] de los Axiomas Peano? Sería un resultado muy emocionante que llevaría a una revolución en las matemáticas. Dicha revolución incluiría eliminar esos axiomas y reemplazarlos con un conjunto “mejor” que refleje adecuadamente lo que realmente queríamos decir con números naturales.
El hecho es que los Axiomas de Peano (y axiomaticaciones equivalentes) son actualmente la mejor representación que tenemos de lo que realmente queremos decir con números naturales. Es mucho más riguroso que cualquier noción intuitiva que usted o yo podamos tener (y todos tenemos tales nociones intuitivas ya que estos son, después de todo, simplemente los números de conteo). Pero en el caso extremadamente improbable de que resulten estar equivocados, arreglaremos el sistema y, me atrevo a decir, la gran mayoría de las matemáticas sobrevivirán prácticamente indemnes.
Por cierto, para que sepa que su noción intuitiva de los números naturales no captura todo, tenga en cuenta la existencia de modelos no estándar de aritmética. Estos modelos contienen números naturales no estándar más allá del segmento inicial de los números naturales estándar. Si entiendes eso, entonces probablemente no necesites haber leído el resto de esta respuesta 🙂
