La teoría de la homotopía racional es agradable porque es mucho más fácil que la teoría de la homotopía ordinaria y, en consecuencia, puede probar teoremas mucho más fuertes. Por ejemplo, a menudo es posible describir completamente todos los grupos de homotopías racionales de un espacio; en contraste, ¡ni siquiera conocemos los grupos de homotopía de [matemáticas] S ^ 2 [/ matemáticas]!
Uno de los buenos teoremas que puedes probar es que la teoría de la homotopía racional de una gran clase de espacios está completamente determinada por sus anillos de cohomología racional. Estos espacios se llaman espacios formales . No quiero dar la definición, pero los ejemplos incluyen esferas, grupos de Lie y todas las variedades compactas de Kahler, por lo que, en particular, todas las variedades complejas proyectivas suaves. Dado solo el anillo de cohomología racional de dicho espacio, puede calcular todos sus grupos de homotopía racional, lo que creo que es bastante bueno.
Otro buen teorema que puedes probar es el siguiente. Si [math] X [/ math] es un complejo CW finito, entonces exactamente una de las siguientes cosas es verdadera:
- ¿Cuál es una explicación intuitiva del retroceso en geometría diferencial?
- ¿De qué está hecho un cubo?
- ¿Cuál fue el 'resultado' matemático más inexacto (quizás ridículamente) que se 'probó'?
- ¿Qué es la investigación matemática y cómo se hace?
- ¿Debería obtener un título en matemáticas o matemáticas aplicadas?
- [math] X [/ math] tiene como máximo finitos muchos grupos de homotopía racional distintos de cero ([math] X [/ math] es racionalmente elíptico ).
- Las dimensiones de los grupos de homotopía racional crecen, en promedio, exponencialmente ([matemática] X [/ matemática] es racionalmente hiperbólica ).
¡No hay término medio! Hay una forma conceptual de entender este teorema a través del modelo Quillen de homotopía racional en términos de álgebras de dg Lie que hace contacto con la geometría algebraica derivada a través de la noción de un problema de módulo formal; vea la página de los documentos de Lurie en harvard.edu y la página en harvard.edu para algunos detalles.
La teoría de la homotopía racional tiene otras aplicaciones fuera de la teoría de la homotopía. Así como existe la noción de que un espacio es formal, existe la noción de que una ópera (teoría de Operad) de espacios es formal. Hay una familia muy importante de operads llamados pequeños discos o cubitos pequeños operads [math] E_n [/ math], y se sabe que estos operads son todos formales. Esto se debe, creo, a Tamarkin, y se usó para dar una prueba de la formalidad de Kontsevich (formalidad de Kontsevich en nLab), que afirma que cada colector de Poisson tiene una cuantización de deformación (fórmula de cuantificación de Kontsevich). Esto es parte de una historia larga y fascinante en la interacción de las matemáticas modernas con la física.
