Suposiciones
Defina [matemáticas] f (k) = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {k} {(- 1) ^ i \ binom {k} {i}} [/ matemáticas], donde [matemáticas] k \ en \ mathbb {N} \ cup \ {0 \} [/ math]. Queremos la función de generación para [math] f (k) [/ math], que tiene la forma [math] A (x) = \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {\ infty} {f (k) x ^ k} [/ matemáticas].
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[matemáticas] A (x) = \ boxed {1} [/ matemáticas].
Razonamiento:
Primero, tenga en cuenta que cuando [math] k = 0 [/ math], luego [math] f (k) = \ binom {0} {0} = 1 [/ math].
Luego, considere el caso cuando [math] k [/ math] es impar. Entonces, [matemáticas] f (k) = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {k} {(- 1) ^ i \ binom {k} {i}} = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {\ frac {k-1} {2}} {[\ binom {k} {2i} – \ binom {k} {k – 2i}]} [/ math]. Como [math] \ binom {k} {2i} = \ frac {k!} {(2i)! (K-2i)!} = \ Binom {k} {k – 2i} [/ math], vemos que [matemáticas] f (k) = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {\ frac {k-1} {2}} {[\ binom {k} {2i} – \ binom {k} {2i}] } = 0 [/ matemáticas].
Luego, considere el caso cuando [math] k [/ math] es par y positivo. Entonces, [matemáticas] f (k) = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {k} {(- 1) ^ i \ binom {k} {i}} = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {k} {(- 1) ^ i [\ binom {k-1} {i} + \ binom {k-1} {i – 1}]} [/ math], usando la fórmula recursiva para el coeficiente binomial. Simplificando, obtenemos [matemática] f (k) = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {k} {(- 1) ^ i \ binom {k-1} {i}} + \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {k} {(- 1) ^ i \ binom {k-1} {i-1}} [/ math]. Al cambiar los índices, obtenemos [matemáticas] f (k) = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {k-1} {(- 1) ^ i \ binom {k-1} {i}} + \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {k-1} {(- 1) ^ {i + 1} \ binom {k – 1} {i}} [/ math]. Al observar que [math] k-1 [/ math] es impar, vemos que ambos términos en esta expresión ya han demostrado ser [math] 0 [/ math] en el párrafo anterior. Por lo tanto, [matemáticas] f (k) = 0 [/ matemáticas] en este caso también.
Al unir la función generadora, obtenemos [matemáticas] A (x) = \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {\ infty} {f (k) x ^ k} = 1x ^ 0 = 1 [/ matemáticas].
