Hay muchos métodos diferentes que uno puede usar para encontrar límites.
Límites simples como [matemática] \ lim_ {x \ a 2} x ^ {2} [/ matemática], [matemática] \ lim_ {x \ a 0} \ displaystyle \ frac {x ^ {3} + x} {2x +1} [/ math], [math] \ lim_ {x \ to 2} \ displaystyle \ frac {\ sin x} {x} [/ math], todos pueden evaluarse mediante sustitución directa.
¿Por qué? Porque cada función está bien definida y es continua en el punto límite.
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Otros límites son más complicados [matemáticas] \ lim_ {x \ a 1} \ displaystyle \ frac {x ^ {2} -1} {x-1} [/ matemáticas], [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ displaystyle \ frac {\ sin x} {x} [/ math], [math] \ lim_ {x \ to \ infty} \ displaystyle \ frac {x} {x ^ {3}} [/ math].
La sustitución directa falla por estos límites. Debemos utilizar otras técnicas para llegar a una respuesta.
El primer límite se encuentra por factorización :
[matemáticas] \ lim_ {x \ a 1} \ displaystyle \ frac {x ^ {2} -1} {x-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas] [matemáticas] \ lim_ {x \ a 1} \ displaystyle \ frac {(x-1) \ cdot (x + 1)} {x-1} [ /matemáticas]
[matemáticas] = \ lim_ {x \ a 1} (x + 1) [/ matemáticas]
Este nuevo límite se evalúa fácilmente mediante sustitución directa:
[matemáticas] = 1 + 1 = 2. [/ matemáticas]
El segundo límite es interesante. Considere lo que sucede cuando [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] se sustituye directamente en:
[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ displaystyle \ frac {\ sin x} {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ displaystyle \ frac {0} {0} [/ matemáticas]
Interesante. Lo que hemos encontrado se conoce como una forma indeterminada .
Las formas indeterminadas más comunes que surgen en problemas de límites son [matemática] \ displaystyle \ frac {0} {0} [/ matemática], [matemática] \ displaystyle \ frac {\ infty} {\ infty} [/ matemática], [ matemáticas] 0 \ cdot \ infty [/ matemáticas], [matemáticas] \ infty – \ infty [/ matemáticas], [matemáticas] 0 ^ {0} [/ matemáticas], [matemáticas] 1 ^ {\ infty} [/ matemáticas ], [matemáticas] \ infty ^ {0} [/ matemáticas].
¿Cómo lidiamos con estas pequeñas criaturas?
La regla de L’hopital.
Sí, hay otros métodos. Pero la regla de L’hopital es fácilmente el método más confiable para lidiar con límites indeterminados.
La regla de L’hopital nos permite evaluar las formas indeterminadas [math] \ displaystyle \ frac {0} {0} [/ math] y [math] \ displaystyle \ frac {\ infty} {\ infty} [/ math].
La regla dice [matemáticas] \ lim_ {x \ to c} \ displaystyle \ frac {f (x)} {g (x)} = \ lim_ {x \ to c} \ displaystyle \ frac {f ‘(x)} {g ‘(x)} [/ matemáticas]
Entonces, volviendo al límite [matemática] \ lim_ {x \ a 0} \ displaystyle \ frac {\ sin x} {x} [/ matemática], obtenemos:
[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ displaystyle \ frac {\ sin x} {x} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ displaystyle \ frac {(\ sin x) ‘ } {(x) ‘} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ displaystyle \ frac {\ cos x} {1} [/ matemáticas]
Sustitución directa:
[matemáticas] \ rightarrow \ cos (0) = 1 [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ displaystyle \ frac {\ sin x} {x} = 1 [/ matemáticas]
El tercer límite se evalúa de manera similar:
[matemáticas] \ lim_ {x \ to \ infty} \ displaystyle \ frac {x} {x ^ {3}} [/ matemáticas]
La regla de L’hopital:
[math] = \ lim_ {x \ to \ infty} \ displaystyle \ frac {(x) ‘} {(x ^ {3})’} [/ math]
[math] = \ lim_ {x \ to \ infty} \ displaystyle \ frac {1} {x ^ {2}} [/ math]
Finalmente, nos preguntamos, “¿qué sucede cuando el denominador se hace grande?”.
[matemáticas] \ lim_ {x \ to \ infty} \ displaystyle \ frac {1} {x ^ {2}} \ rightarrow \ displaystyle \ frac {1} {\ infty} [/ math]
[matemáticas] = 0 [/ matemáticas]
Como puede ver, los límites son especímenes interesantes dentro de las matemáticas. Hay muchas, muchas más formas en que podemos evaluar los límites, pero estos son los métodos más simples y elementales.