En matemáticas, tienes que confiar en los resultados de tus compañeros hasta cierto punto, incluso sin ‘entenderlos’ de la manera más completa posible. Por ejemplo, durante mis estudios de posgrado, aprendí y entendí la prueba del teorema fundamental del álgebra (que cada polinomio de grado n tiene n raíces sobre los números complejos). Aunque todavía estoy trabajando en matemáticas, en este momento no podría reproducir la prueba de este teorema sin buscar las ideas clave de la prueba. En este sentido (muy estricto) ya no ‘entiendo’ el teorema fundamental del álgebra. Sin embargo, no dudaría en aplicar este teorema como prueba de mis propios resultados. En este sentido, mi comprensión del teorema se ha convertido en parte de mi intuición: me he “ acostumbrado ” al teorema y todavía confío en él y en mi recuerdo de haber aprendido su prueba. Entonces, lo que creo que John von Neumann quiso decir es que los matemáticos experimentados discuten (especialmente verbalmente) más por una intuición altamente desarrollada que por reproducir meticulosamente los detalles de cada prueba. En este sentido, ya no “entienden” las matemáticas, sino que “se han acostumbrado” a ellas.
¿Qué quiso decir John von Neumann cuando dijo “Joven, en matemáticas no entiendes las cosas. Simplemente te acostumbras a ellas”. en respuesta a Felix T. Smith, quien dijo: “Me temo que no entiendo el método de las características”.
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Muchas veces, los conceptos que uno encuentra en las matemáticas son el resultado de pensamientos pulidos durante un largo período de tiempo. Estos conceptos pierden la motivación de su origen. Ahora, cuando alguien comienza a leer estos nuevos conceptos, uno se preguntaría su origen o cómo alguien hubiera pensado así. Pero rastrear el origen de cada concepto puede ser muy agotador y llevar mucho tiempo. Por lo tanto, uno simplemente comienza a trabajar con ellos en lugar de tratar de entenderlos. Eso es lo que creo que von Neumann quiere decir. Por supuesto, con el tiempo, uno puede ver las cosas en una perspectiva más amplia y adecuada. Uno de esos conceptos simples que uno encuentra es la definición de compacidad en espacios topológicos.
Creo que lo que quiso decir es, literalmente, que no entiendes las cosas, sino que usas sus representaciones matemáticas, a menudo sin entender lo que una determinada operación significaría en realidad. Puede ser que simplemente tenga una fórmula y necesite transformarla de alguna manera para probar algo u obtener un cierto resultado, pero ¿qué representan realmente los pasos de esa transformación? Puede ser difícil saberlo. Es posible que en realidad no lo sepamos, excepto que la transformación es válida en el contexto. Utilizamos operaciones abstractas en cosas abstractas (representaciones matemáticas de algo) en lugar de imaginar siempre lo que representa cada parte de la representación. Además, la representación matemática suele ser solo un modelo y, por lo tanto, abstrae algunos detalles de la realidad, lo que parece no tener sentido para el objetivo que queremos alcanzar.
Quizás una buena comparación sería matemática y física, pero eso es algo que un físico podría estimar mejor que yo.
Tener una comprensión completa de las cosas (saber) está más relacionado con la epistemología que con las matemáticas. En algún campo de las matemáticas como su fundamento, las cosas se vuelven tan abstractas que todos los intentos que intentan obtener una mejor comprensión se desvanecen en el vacío.
Creo que la declaración podría decir así:
En matemáticas no entiendes las cosas de manera filosófica o práctica, una vez que te enfocas en la abstracción de las cosas en lugar de la cosa misma, no hay dificultad para dejar que esa abstracción exista en el universo abstracto.
Las matemáticas se pueden hacer de dos maneras: memorizándolas y entendiéndolas. Si memorizas las fórmulas, posiblemente sabrás cómo hacerlo. Si intenta ir y comprenderlo, seguramente sabrá cómo hacerlo.
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