¿Cuáles son las aplicaciones prácticas de la geometría diferencial?

Las aplicaciones que conozco pasan por la física. Por ejemplo, la geometría diferencial es el lenguaje estándar utilizado para formular la relatividad general, por lo que se aplica donde sea que se aplique la relatividad general, como en el Sistema de posicionamiento global. Los satélites que hacen que el GPS funcione experimentan cierta dilatación del tiempo, y el GPS se volvería cada vez más impreciso con el tiempo si esto no se tuviera en cuenta.

La geometría diferencial generalmente se asocia con la relatividad general, pero la mecánica newtoniana también se formula en términos de geometría diferencial. Tiene un espacio afín [matemático] A ^ 3 [/ matemático] en el que elige un origen. Una vez que se arregla el origen, tiene una biyección [matemática] f: A ^ 3 \ rightarrow \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] (que llamaremos sistema de coordenadas cartesianas de origen [math] O [/ math ] y ejes [matemática] e_1, e_2, e_3 [/ matemática]). Entonces, la topología euclidiana induce naturalmente una topología en [math] A ^ 3 [/ math], es decir, los conjuntos abiertos son las contraimágenes a través de [math] f [/ math] de los conjuntos abiertos de [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ matemáticas]. Además, puede equipar, usando esa función, [math] A ^ 3 [/ math] con una estructura de colector topológico y diferencial [math] C ^ {\ infty} [/ math].

Hay algunas aplicaciones interesantes en el aprendizaje automático y la teoría estadística. La información de Fisher está íntimamente conectada con el espacio tangente modelo, y un algoritmo LARS se ajusta al espacio tangente. Los flujos geométricos también son importantes para el análisis de redes (laplacianos …).

Robótica! La teoría del control geométrico usa geometría diferencial para estudiar el control de sistemas no lineales. Por lo general, aproximamos los sistemas no lineales con sistemas lineales, pero a medida que la mecánica se vuelve más complicada, para los robots humanoides, por ejemplo, usamos geometría diferencial para comprender cómo controlarlos.

Geometría diferencial
De Wikipedia (sección de aplicaciones).
Por cierto, en física también hay aplicaciones en mecánica cuántica y teoría de campo.