Existen tres métodos para encontrar la raíz cúbica de un número.
I. Método normal
1. Establezca el problema. Resolver la raíz cúbica de un número se verá como resolver un problema de división larga, con algunas diferencias especiales. El primer paso es configurar el problema en el formato adecuado.
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- Escriba el número cuya raíz cúbica desea encontrar. Escribe los dígitos en grupos de tres, usando el punto decimal como punto de partida. Para este ejemplo, encontrará la raíz cúbica de 10. Escriba esto como 10. 000 000. Los 0 adicionales son para permitir la precisión en la solución.
- Dibuja un signo radical de raíz cúbica sobre el número. Esto sirve para el mismo propósito que la línea de barra de división larga. La única diferencia es la forma del símbolo.
- Coloque un punto decimal sobre la línea de la barra, directamente sobre el punto decimal en el número original.
2. Conozca los cubos de números de un solo dígito. Los usará en los cálculos. Estos cubos son los siguientes:
- 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1
- 2 ^ {3} = 2 * 2 * 2 = 8
- 3 ^ {3} = 3 * 3 * 3 = 27
- 4 ^ {3} = 4 * 4 * 4 = 64
- 5 ^ {3} = 5 * 5 * 5 = 125
- 6 ^ {3} = 6 * 6 * 6 = 216
- 7 ^ {3} = 7 * 7 * 7 = 343
- 8 ^ {3} = 8 * 8 * 8 = 512
- 9 ^ {3} = 9 * 9 * 9 = 729
- 10 ^ {3} = 10 * 10 * 10 = 1000
3. Encuentre el primer dígito de su solución. Seleccione un número que, cuando esté en cubos, proporcione el mayor resultado posible menor que el primer conjunto de tres números.
- En este ejemplo, el primer conjunto de tres números es 10. Encuentra el cubo perfecto más grande que sea menor que 10. Ese número es 8 y su raíz cúbica es 2.
- Escribe el número 2 sobre la línea de la barra radical, sobre el número 10. Escribe el valor de 2 ^ {3}, que es 8, debajo del número 10, dibuja una línea y resta, como lo harías en una división larga. El resultado es un 2.
- Después de la resta, tienes el primer dígito de tu solución. Debe decidir si este dígito es un resultado lo suficientemente preciso. En la mayoría de los casos, no lo será. Puede verificar cubicando el único dígito y decidir si está lo suficientemente cerca del resultado que desea. Aquí, debido a que 2 ^ {3} es solo 8, no muy cercano a 10, debe continuar.
4. Configure para encontrar el siguiente dígito. Copie el siguiente grupo de tres números en el resto y dibuje una pequeña línea vertical a la izquierda del número resultante. Este será el número base para encontrar el siguiente dígito en la solución de su raíz cúbica. En este ejemplo, este debería ser el número 2000, que se forma a partir del resto 2 de la resta anterior, con el grupo de tres ceros que tira hacia abajo.
- A la izquierda de la línea vertical, resolverás el siguiente divisor, como la suma de tres números separados. Dibuje los espacios para estos números haciendo tres subrayados en blanco, con símbolos más entre ellos.
5. Encuentra el comienzo del siguiente divisor. Para la primera parte del divisor, escribe trescientas veces el cuadrado de lo que esté encima del signo radical. En este caso, el número en la parte superior es 2, 2 ^ 2 es 4 y 4 * 300 = 1200. Entonces escribe 1200 en el primer espacio. El divisor para este paso de la solución será 1200, más algo que encontrará a continuación.
6. Encuentre el siguiente número en su solución de raíz cúbica. Encuentre el siguiente dígito de su solución seleccionando lo que puede multiplicar por el divisor, 1200-algo, para luego restar del resto de 2000. Esto solo puede ser 1, ya que 2 veces 1200 sería 2400, que es mayor que 2000. Escribe el número 1 en el siguiente espacio sobre el signo radical.
7. Determine el resto del divisor. El divisor para este paso de la solución se compone de tres partes. La primera parte es la 1200 que ya tienes. Necesitas agregar dos términos más para completar el divisor.
- Ahora calcule 3 veces 10 veces cada uno de los dos dígitos que están en su solución por encima del signo radical. Para este problema de muestra, eso significa 3 * 10 * 2 * 1, que es 60. Agregue esto al 1200 que ya tiene que hacer 1260.
- Finalmente, agregue el cuadrado del último dígito. Para este ejemplo, eso es un 1, y 1 ^ 2 sigue siendo 1. El divisor total es, por lo tanto, 1200 + 60 + 1, o 1261. Escriba esto a la izquierda de la línea vertical.
8) Multiplica y resta. Complete esta ronda de la solución multiplicando el último dígito de su solución, en este caso, el número 1, por el divisor que acaba de calcular, 1261. 1 * 1261 = 1261. Escriba esto debajo del 2000, y reste, para dar 739.
9) Decide si proceder para obtener más precisión. Después de completar la parte de resta de cada paso, debe considerar si su respuesta es lo suficientemente precisa. Para la raíz cúbica de 10, después de la primera resta, la raíz cúbica era solo 2, lo cual no es muy preciso. Ahora, después de una segunda ronda, la solución es 2.1.
- Puede verificar la precisión de este resultado cubicando 2.1 * 2.1 * 2.1. El resultado es 9.261.
- Si cree que su resultado es lo suficientemente preciso, puede renunciar. Si desea una respuesta más precisa, debe continuar con otra ronda
10. Encuentra el divisor para la próxima ronda. En este caso, para más práctica y una respuesta más precisa, repita los pasos para otra ronda, de la siguiente manera:
- Despliegue el siguiente grupo de tres dígitos. En este caso, estos son tres ceros, que seguirán al 739 restante para dar 739,000.
- Comience el divisor con 300 veces el cuadrado del número actualmente sobre la línea radical. Esto es 300 * 21 ^ {2}, que es 132,300.
- Seleccione el siguiente dígito de su solución para que pueda multiplicarlo por 132,300 y tener menos de los 739,000 de su resto. Una buena opción sería 5, ya que 5 * 132,300 = 661,500. Escribe el dígito 5 en el siguiente espacio sobre la línea radical.
- Encuentre 3 veces el número anterior sobre la línea radical, 21, multiplicado por el último dígito que acaba de escribir, 5, multiplicado por 10. Esto da 3 * 21 * 5 * 10 = 3,150.
- Finalmente, eleva al cuadrado el último dígito. Esto es 5 ^ {2} = 25.
- Suma las partes de tu divisor para obtener 132,300 + 3,150 + 25 = 135,475.
11. Multiplica el divisor por tu número de solución. Después de haber calculado el divisor para esta próxima ronda y haber expandido su solución en un dígito más, proceda de la siguiente manera:
- Multiplica el divisor por el último dígito de tu solución. 135475 * 5 = 677,375.
- Sustraer. 739,000-677,375 = 61,625.
- Considere si la solución de 2.15 es lo suficientemente precisa. Cúbralo para obtener 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94.
12. Escriba su respuesta final. El resultado por encima del radical es la raíz cúbica, precisa en este punto de tres cifras significativas. En este ejemplo, la raíz cúbica de 10 es 2.15. Verifique eso calculando 2.15 ^ 3 = 9.94, que se aproxima a 10. Si necesita mayor precisión, simplemente continúe el proceso todo el tiempo que desee.
II.Encontrar raíces de cubo por estimación repetida
1.Utilice números de cubo para establecer límites superior e inferior. Si se le solicita una raíz cúbica de casi cualquier número, comience seleccionando un cubo perfecto que esté lo más cerca posible, sin exceder su número objetivo.
- Por ejemplo, si desea encontrar la raíz cúbica de 600, recuerde (o use una tabla de números de cubos) que 8 ^ {3} = 512 y 9 ^ {3} = 729. Por lo tanto, la solución para la raíz cúbica de 600 debe ser algo entre 8 y 9. Utilizará los números 512 y 729 como límites superior e inferior para su solución.
2. Estima el siguiente dígito. El primer dígito vino de su conocimiento de ciertos números de cubo. Para el siguiente dígito, calcule un número entre 0 y 9 en función de dónde se encuentra su número objetivo entre los dos límites.
- En el ejemplo de trabajo, el objetivo de 600 cae aproximadamente a la mitad entre los números de límite de 512 y 729. Por lo tanto, seleccione 5 para su próximo dígito.
3. Pruebe su estimación cubicando. Intente multiplicar la estimación con la que está trabajando actualmente para ver qué tan cerca se acerca al objetivo.
En este ejemplo, multiplique 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.
4. Ajuste su estimación según sea necesario. Después de poner el último cálculo en cubos, verifica dónde cae el resultado en comparación con tu número objetivo. Si el resultado está por encima del objetivo, deberá reducir su estimación en uno o más. Si el resultado está por debajo del objetivo, es posible que deba ajustar hacia arriba hasta que supere el objetivo.
- Por ejemplo, en este problema, 8.5 ^ {3} es mayor que el objetivo de 600. Por lo tanto, debe reducir la estimación a 8.4. Cubica este número y compáralo con tu objetivo. Encontrará que 8.4 * 8.4 * 8.4 = 592.7. Esto ahora es más bajo que tu objetivo. Por lo tanto, sabe que la raíz cúbica de 600 debe ser al menos 8.4 pero inferior a 8.5.
5. Estima el siguiente dígito para mayor precisión. Continuará este proceso de estimación de dígitos de 0 a 9 hasta que su respuesta sea tan precisa como desee. Para cada ronda de estimación, comience observando cómo se ubica su último cálculo entre el límite.
- En este ejemplo de trabajo, su última ronda de cálculos muestra que 8.4 ^ {3} = 592.7, mientras que 8.5 ^ {3} = 614.1. El objetivo de 600 está ligeramente más cerca de 592 que de 614. Entonces, para su próxima suposición, comience eligiendo un número ligeramente inferior a la mitad entre 0 y 9. Una buena suposición sería 4, para una estimación de raíz cúbica de 8.44.
6. Continúe probando su estimación y ajústelo. Todas las veces que sea necesario, cubica tu estimación y observa cómo se compara con tu objetivo. Desea encontrar los números que están justo debajo y justo encima del número objetivo.
- Para este ejemplo de trabajo, comience por encontrar que 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2. Esto está apenas por encima del objetivo, así que desplácese y pruebe 8.43. Esto le dará 8.43 * 8.43 * 8.43 = 599.07. Por lo tanto, sabes que la raíz cúbica de 600 es algo más que 8.43 y menos que 8.44.
7. Continúe todo el tiempo que desee para mayor precisión. Continúe los pasos de estimar, comparar y volver a estimar el tiempo que sea necesario, hasta que su solución sea tan precisa como desee. Observe que con cada decimal, sus números objetivo se acercarán cada vez más al número real.
- Para el ejemplo de la raíz cúbica de 600, cuando usaste dos decimales, 8.43, estabas lejos del objetivo por menos de 1. Si continúas a un tercer decimal, encontrarás que 8.434 ^ {3} = 599.93 , menos de 0.1 de la respuesta verdadera.
III. POR EXPANSIÓN BINOMIAL
1.Revise la expansión binomial. Para comprender por qué este algoritmo funciona para encontrar raíces cúbicas, primero debe recordar cómo se ve la expansión cúbica para un binomio. Probablemente aprendiste esto en Álgebra o Álgebra II en la escuela secundaria (y, si eres como la mayoría de las personas, probablemente lo olvidaste poco después). Seleccione dos variables A y B para representar números de un solo dígito. Luego cree el binomio de (10A + B) para representar un número de dos dígitos.
- Usar el término 10A es lo que crea un número de dos dígitos. Cualquiera que sea el dígito que seleccione para A, 10A colocará ese dígito en la columna de decenas. Por ejemplo, si A es 2 y B es 6, entonces (10A + B) se convierte en 26.
2. Expande el binomio en un cubo. Estamos trabajando hacia atrás aquí, creando primero el cubo, para luego ver por qué funciona la solución para las raíces del cubo. Necesitamos encontrar el valor de (10A + B) ^ {3}. Para ello, multiplica (10A + B) * (10A + B) * (10A + B). Esto es demasiado largo para mostrarlo aquí, pero el resultado final es 1000A ^ {3} + 300A ^ {2} B + 30AB ^ {2} + B ^ {3}.
- Para obtener más información sobre cómo expandir el binomio para obtener este resultado, puede ver Multiplicar binomios. Para una versión de acceso directo más avanzada, lea Calcular (x + y) ^ n con el Triángulo de Pascal.
3. Reconocer el significado del algoritmo de división larga. Observe que el método para calcular la raíz cúbica funciona como una división larga. En la división larga, encuentras dos factores que se multiplican para dar el producto del número con el que comienzas. En el cálculo aquí, el número que está resolviendo (el número que termina en la parte superior del signo radical) es la raíz cúbica. Eso significa que representa el término (10A + B). Los A y B reales son irrelevantes por ahora, siempre y cuando solo reconozca la relación con la respuesta.
4. Revise la versión ampliada. Cuando observa el polinomio expandido, puede ver por qué funciona el algoritmo de raíz cúbica. Reconozca que el divisor de cada paso del algoritmo es la suma de cuatro términos que necesita calcular y sumar. Estos términos se presentan de la siguiente manera:
- El primer término contiene un múltiplo de 1000. Primero, un número que podría estar en cubos y permanecer dentro del rango de la división larga para el primer dígito. Esto proporciona el término 1000A ^ 3 en la expansión binomial.
- El segundo término de la expansión binomial tiene el coeficiente de 300. (Esto en realidad proviene de 3 * 10 ^ {2}.) Recuerde que en el cálculo de la raíz del cubo, el primer dígito en cada paso se multiplica por 300.
- El segundo dígito en cada paso del cálculo de la raíz del cubo proviene del tercer término de la expansión binomial. En la expansión binomial, puede ver el término 30AB ^ 2.
- El último dígito de cada paso es el término B ^ 3.
5.Ver la precisión crecer. A medida que realiza el algoritmo de división larga, cada paso que completa proporciona más precisión para su respuesta. Por ejemplo, el problema de ejemplo trabajado en este artículo es encontrar la raíz cúbica de 10. En el primer paso, la solución es solo 2, porque 2 ^ {3} está cerca, pero menos de 10. De hecho, 2 ^ { 3} = 8. Después de una segunda ronda, obtienes la solución de 2.1. Cuando resuelva esto, 2.1 ^ {3} = 9.261, que está mucho más cerca del valor deseado de 10. Después de una tercera ronda, tiene 2.15, que da 2.15 ^ {3} = 9.94. Puedes seguir trabajando en grupos de tres dígitos para obtener una respuesta tan precisa como necesites
