1. Aunque muchos estudiantes toman un curso de matemática discreta donde estudian varias técnicas de prueba, muchos de ellos parecen no absorber bien este material. El álgebra abstracta les proporciona mucha más práctica en esto en un contexto diferente que las matemáticas discretas.
2. Los profesores de matemáticas de la escuela secundaria deben ser muy expertos en aritmética modular. Los grupos cíclicos es donde aprenden esto bien.
3. La teoría de grupos es la matemática de la simetría, una noción fundamental en ciencias, matemáticas e ingeniería. Por ejemplo, el grupo de simetría de una molécula revela algunas de sus propiedades químicas posibles (o imposibles).
- ¿Por qué interpretamos frecuencias en seno y coseno y no ondas cuadradas?
- Cómo calcular un nuevo valor de un porcentaje sobre la base de un porcentaje de aumento
- ¿Crees que es posible completar Matemáticas discretas y sus aplicaciones por Kenneth H. Rosen en 30 días y tener una buena comprensión de las matemáticas discretas?
- ¿Qué son exactamente los múltiples (intuitivamente) y cuáles son sus diferencias con los gráficos?
- ¿Por qué es tan importante el análisis complejo?
4. Hay muchas aplicaciones prácticas importantes de la aritmética modular que se entienden mejor viendo la aritmética modular en un marco de teoría de grupo. Los ejemplos incluyen los dígitos de verificación en los códigos UPC en artículos minoristas, números ISBN en libros y números de tarjetas de crédito. En muchos casos, el dígito del cheque es el inverso de un módulo de suma ponderada un entero (10 en el caso de un número UPC, 11 en el caso de un número ISBN, 9 en el caso de cheques de viajero Visa).
5. Muchos juegos pueden entenderse viéndolos como grupos de permutación. Dos ejemplos son el 15 rompecabezas y el cubo Rubik.
6. Los maestros de matemáticas de la escuela secundaria deben ser expertos en mirar datos y hacer conjeturas y generalizaciones plausibles. También deberían enseñar a sus alumnos a hacer esto. Esta es una habilidad que se puede aprender con la práctica. Los grupos y los anillos brindan abundantes oportunidades para desarrollar esta habilidad.
7. Muchas personas no se sienten cómodas con conceptos abstractos ni expertos en razonamiento abstracto. La capacidad de pensar de manera abstracta es un activo valioso. El álgebra abstracta ayuda a desarrollar esta habilidad.
8. Abstract Algebra es un curso final ideal para estudiantes de matemáticas y para aquellos que van a graduarse en matemáticas. A lo largo del curso, revisan cosas como las funciones 1-1, en funciones (sorprendentemente, pocos estudiantes de matemática senior entienden bien estas ideas); relaciones de equivalencia; conceptos básicos del álgebra lineal como cómo multiplicar matrices, propiedades de determinantes, cómo calcular un determinante, cómo calcular el inverso de una matriz, cómo saber si una matriz tiene transformaciones lineales inversas (que son homomorfismos de grupo); propiedades de números complejos; propiedades de los enteros (lema de Euclides, algoritmo de división, criterio de divisibilidad entre 9 u 11 o 4); inducción matemática (otro tema importante que muchos estudiantes no parecen entender bien cuando comienzan un curso de álgebra abstracta; este es especialmente el caso de las declaraciones que no involucran sumas de series); y las propiedades de los polinomios (algoritmo de división, teorema del resto, teorema del factor, número de ceros como máximo, factorización única).
9. Hacer un buen trabajo en un curso de álgebra abstracta genera confianza y a veces hace que los estudiantes piensen en ir a la escuela de posgrado. Una vez tuve un estudiante a quien le fue extremadamente bien en álgebra abstracta que fue a la escuela de medicina y ahora tiene una posición alta en el Centro para el Control de Enfermedades en Atlanta. Unos 20 años después de que ella tomó el curso, la conocí para cenar mientras estaba en una reunión en Atlanta. Le dije en tono de broma: “¿Usaste algún álgebra abstracta en la escuela de medicina?” Ella respondió de inmediato diciendo: “El álgebra abstracta fue muy valiosa para mí en la escuela de medicina”. Le pregunté cómo. Ella dijo que cada vez que estaba tomando un curso difícil, se decía a sí misma “Si puedo obtener una A en álgebra abstracta, puedo obtener una A es cualquier curso”. Ella hablaba perfectamente en serio. Muchas personas que comienzan con la intención de ser maestros de matemáticas de la escuela secundaria o incluso enseñar matemáticas de la escuela secundaria durante varios años deciden ir a la escuela de posgrado en matemáticas para obtener un título avanzado (a mí y a muchos otros nos encantó el curso y quería ir a la escuela de posgrado para continuar estudiando el tema). Tomar álgebra abstracta y hacerlo bien hace que ese movimiento sea más probable y fácil de hacer.
