¿Cuál es la diferencia entre las propiedades conmutativas y asociativas?

Hay varias propiedades con nombre en matemáticas que se usan en estadística y probabilidad; Dos de estos tipos de propiedades, las propiedades asociativas y conmutativas, se encuentran en la aritmética básica de los enteros, racionales y números reales, pero también se muestran en las matemáticas más avanzadas.

Estas propiedades son muy similares y se pueden mezclar fácilmente, por lo que es muy importante saber la diferencia entre las propiedades asociativas y conmutativas del análisis estadístico determinando primero lo que cada uno representa individualmente y luego comparando sus diferencias.

La propiedad conmutativa se refiere al orden de ciertas operaciones en las que la operación * es conmutativa de un conjunto dado (S) si para cada valor x e y en el conjunto x * y = y * x. La propiedad asociativa, por otro lado, solo se aplica si la agrupación de la operación no es importante en donde la operación * es asociativa en el conjunto (S) si y solo si por cada x, y y z en S, la ecuación puede leer (x * y) * z = x * (y * z).
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DEFINIENDO LA PROPIEDAD CONDUCTIVA

En pocas palabras, la propiedad conmutativa establece que los factores en una ecuación pueden reorganizarse libremente sin afectar el resultado de la ecuación. La propiedad conmutativa, por lo tanto, se refiere al orden de las operaciones, incluida la suma y multiplicación de números reales, enteros y números racionales y la suma de matrices.

Por otro lado, la resta, la división y la multiplicación de matrices no son operaciones que pueden ser conmutativas porque el orden de las operaciones es importante; por ejemplo, 2 – 3 no es lo mismo que 3 – 2, por lo tanto, la operación no es una propiedad conmutativa .

Como resultado, otra forma de expresar la propiedad conmutativa es a través de la ecuación ab = ba, en donde no importa el orden de los valores, los resultados siempre serán los mismos.

PROPIEDAD ASOCIATIVA

La propiedad asociativa de una operación exhibe asociatividad si la agrupación de la operación no es importante, lo que se puede expresar como a + (b + c) = (a + b) + c porque no importa qué par se agregue primero debido al paréntesis , El resultado será el mismo.

Al igual que en la propiedad conmutativa, los ejemplos de operaciones que son asociativas incluyen la suma y multiplicación de números reales, enteros y números racionales, así como la suma de matrices. Sin embargo, a diferencia de la propiedad conmutativa, la propiedad asociativa también puede aplicarse a la multiplicación de matrices y la composición de funciones.

Al igual que las ecuaciones de propiedad conmutativa, las ecuaciones de propiedad asociativa no pueden contener la resta de números reales. Tomemos por ejemplo el problema aritmético (6 – 3) – 2 = 3 – 2 = 1; Si cambiamos la agrupación de nuestros paréntesis, tenemos 6 – (3 – 2) = 6 – 1 = 5, por lo que el resultado es diferente si reorganizamos la ecuación.

¿CUÁL ES LA DIFERENCIA?

Podemos ver la diferencia entre la propiedad asociativa o conmutativa preguntando: “¿Estamos cambiando el orden de los elementos o estamos cambiando la agrupación de estos elementos?” Sin embargo, la presencia de paréntesis por sí sola no significa necesariamente que una propiedad asociativa sea siendo utilizado. Por ejemplo:

(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)

Lo anterior es un ejemplo de la propiedad conmutativa de la suma de números reales. Si prestamos mucha atención a la ecuación, vemos que cambiamos el orden, pero no las agrupaciones de cómo sumamos nuestros números; Para que esto se considere una ecuación que utiliza la propiedad asociativa, tendríamos que reorganizar la agrupación de estos elementos para indicar (2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3.

Fuente: La diferencia entre propiedades asociativas y conmutativas

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La diferencia más obvia es que la propiedad conmutativa tiene dos elementos y una operación, mientras que la asociativa tiene tres elementos y dos operaciones (la misma operación). Agrego la propiedad distributiva, que tiene tres elementos y dos operaciones diferentes ; tres (o más bien cuatro) propiedades podrían aclarar la respuesta. No usamos la multiplicación implícita, usamos a [math] \ cdot b, [/ math] no [math] ab [/ math]

[matemáticas] (a + b) = (b + a) [/ matemáticas]; [matemáticas] a \ cdot b = b \ cdot a [/ math]; (conmutativo)

[matemáticas] ((a + b) + c) = (a + (b + c)) [/ matemáticas]; [matemáticas] ((a \ cdot b) \ cdot c) = (a \ cdot (b \ cdot c)) [/ math] (asociativo)

[matemáticas] ((a + b) \ cdot c) = ((a \ cdot c) + (b \ cdot c)) [/ math]; [matemáticas] (a \ cdot (b + c)) = (( a \ cdot b) + (a \ cdot c)) [/ math] (distributivo derecho e izquierdo)

Tenga en cuenta que las dos leyes distributivas son diferentes , a menos que la operación [math] \ cdot [/ math] sea conmutativa (veremos un ejemplo).

Para comprender las propiedades, es útil encontrar casos en los que algunos no son válidos, por ejemplo: tome la operación [math] – [/ math] (y [math] \ cdot [/ math]):

[matemáticas] (a – b) \ ne (ba) [/ matemáticas]; [matemáticas] ((a – b) – c)) \ ne (a – (b – c)) [/ matemáticas]; [matemáticas] ((a -b) \ cdot c)) = ((a \ cdot c) – (b \ cdot c)) [/ math]; [matemática] ((a \ cdot (b – c)) = ((a \ cdot b) – (a \ cdot c)) [/ math] es decir, los dos distributivos ho; ld, pero ni el conmutativo ni el asociado se mantienen .

Ahora defina una operación [math] \ odot [/ math] en los enteros, definida como [math] a \ odot b = b [/ math]. No es conmutativo, asociativo y [matemático] (a \ odot (b + c)) = (a \ odot b) + (a \ odot c) [/ math] pero [math] ((a + b) \ odot c) \ ne ((a \ odot c) + (b \ odot c)) [/ math] es decir, solo una de las dos propiedades distributivas se mantiene.

Podría agregar otras operaciones y ejemplos, pero esto probablemente ya sea demasiado largo …

Mason Moir

Esencialmente, producen los mismos resultados. La propiedad asociativa implica el uso de paréntesis para alterar el orden en que se produce la multiplicación o la suma. Por ejemplo, (5 + 6) + 7 = 5+ (6 + 7). Del mismo modo, la propiedad comunicativa altera el orden en que se encuentran la multiplicación o la suma. Un ejemplo de esto sería 5 + 6 + 7 = 7 + 6 + 5.

tl; dr:

Ambas propiedades demuestran que se pueden lograr los mismos resultados finales a pesar de realizar cálculos en diferentes órdenes.

Mason Moir

Conmutativo es una suma o ecuación que siempre será la misma respuesta sin importar cómo haga la suma o en qué orden tenga los números. Por ejemplo, 5 + 9 puede ser 9 + 5. Asociativo es cuando importa en qué orden haces las cosas y lo más probable es que esto se indique entre paréntesis o mediante el uso de bodmas. por ejemplo (5 + 5) -1, primero debes hacer los corchetes para obtener la respuesta, no puedes hacer la resta primero. No es la mejor descripción pero es simple.

Flex Soft

Para la propiedad conmutativa, piense en un viajero que va y viene al trabajo y al hogar todos los días de ida y vuelta.

La propiedad conmutativa dice que a + b = b + a o a * b = b * a.

La propiedad asociativa dice (a + b) + c = a + (b + c)

También te puede interesar la propiedad distributiva que dice:

a (b + c) = ab + ac.

Este video le puede resultar útil:

Paul Holloway

La propiedad conmutativa significa que a + b es lo mismo que b + a, y a * b es lo mismo que b * a.

La propiedad asociativa significa que (a + b) + c es lo mismo que (a + c) + b, y (a * b) * c es lo mismo que (a * c) * b.

Flex Soft

Conmutativo sería ab = ba