La mayoría de las pruebas por contradicción se expresan mejor como pruebas por contrapositivo (http://en.wikipedia.org/wiki/Con…), que no es lo mismo. En una prueba real por contradicción, para demostrar que P implica Q, usted asume P y no Q y deriva una contradicción. Pero para muchas pruebas más simples por contradicción, lo que la gente hace en cambio es asumir que no Q y no derivar P, luego juntarlo con P para obtener una contradicción. Esta no es una prueba real por contradicción. De hecho, está demostrando que no Q implica no P, que es el contrapositivo de lo que estaba tratando de probar, y las declaraciones son equivalentes a sus contrapositivos.
Por qué querrías hacer esto? Un problema con una prueba real por contradicción (donde realmente usas tanto P como no Q como hipótesis) es que no aprendes nada más que lo que estabas tratando de probar. Cuando pruebas algo directamente, pruebas que
P implica A implica B implica C implica … implica Q
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y has aprendido muchas otras cosas, a saber, que P implica A, que A implica B, y así sucesivamente. Algunas de estas declaraciones pueden ser útiles y / o interesantes por derecho propio. Cuando demuestra algo por contradicción, ninguna de las inferencias intermedias que ha realizado es reutilizable. Pero si su prueba por contradicción fue realmente una prueba por contrapositivo, entonces ha demostrado que
no Q implica A implica B implica C implica … implica no P
y todavía has aprendido cosas intermedias.
Otro problema con la prueba por contradicción es que es mucho más fácil cometer un error . En una prueba ordinaria, si comete un error, se encontrará probando cosas que son falsas, y luego podrá detectarlo. En una prueba por contradicción, si comete un error, asumirá que ha terminado y publicará un artículo en viXra que dice probar el último teorema de Fermat o la hipótesis de Riemann o lo que sea, están constantemente probando estos dias.
Como ejemplo explícito, tomemos la prueba estándar de que [math] \ sqrt {2} [/ math] es irracional. La declaración se puede reformular de la siguiente manera: si [math] a ^ 2 = 2 [/ math], entonces [math] a [/ math] es irracional. Una prueba por contradicción supondría que tanto [matemática] a ^ 2 = 2 [/ matemática] como que [matemática] a [/ matemática] es racional y deriva una contradicción, pero no tenemos que hacer eso . Lo que podemos hacer es asumir que [matemáticas] a [/ matemáticas] es racional y demostrar que [matemáticas] a ^ 2 \ neq 2 [/ matemáticas].
Aquí hay una forma de hacerlo. Los números racionales admiten una factorización prima única con exponentes posiblemente negativos. Escriba [math] a [/ math] en términos de esta factorización prima y observe el exponente de [math] 2 [/ math]. Cuando cuadras [matemáticas] a [/ matemáticas], este exponente se duplica, por lo que se vuelve par. En otras palabras, [matemática] a ^ 2 [/ matemática] debe ser divisible por [matemática] 2 [/ matemática] un número par (posiblemente negativo) de veces, y no puede ser divisible por [matemática] 2 [/ matemática] exactamente una vez. Entonces en particular [matemáticas] a ^ 2 \ neq 2. [/ Matemáticas]
¿Qué hemos aprendido al redactar esto como prueba por contrapositivo? Bueno, si pensamos lo suficiente sobre cómo funcionó esta prueba, descubriremos la noción de valoración 2-adic (http://en.wikipedia.org/wiki/Pa…), que tiene muchos usos más allá de esta prueba. También es posible descubrir la noción de valoración de 2 adic a partir de la prueba por contradicción si también se mira lo suficientemente de cerca, pero creo que es un poco más difícil. También hemos aprendido algo intermedio, a saber, que no solo la raíz cuadrada de [math] 2 [/ math] es irracional, sino que, sin hacer ningún trabajo adicional, la raíz cuadrada de cualquier número tal que cualquiera de los exponentes en su la factorización prima es impar es irracional!
Como otro ejemplo, que solo estoy discutiendo porque sospecho que las personas a menudo usan esto como un ejemplo de prueba por contradicción, tomemos lo que la gente piensa que es la prueba de Euclides de la infinitud de los números primos. Esta prueba, contraria a la opinión popular, no es una prueba por contradicción . Ni siquiera es una prueba por contrapositivo. Es un algoritmo para producir infinitos números primos , y funciona así: comienza con un conjunto finito de números primos y encuentra un factor primo de su producto más uno. Esa es una prima que no está en tu lista. Después de hacer esto muchas veces, habrás anotado infinitos primos distintos. Tenga en cuenta que no estoy asumiendo que el conjunto de primos es finito. Solo estoy eligiendo un conjunto finito de números primos.
La prueba por contradicción está muy sobrevalorada . La mayoría de las veces, los beneficios que obtiene al tratar de probar algo por contradicción se pueden obtener probándolo por contrapositivo, y un hábito importante a tener en cuenta al probar cosas es tomar constantemente contrapositivos de cada declaración que encuentre para ver si Sus contrapositivos son más útiles. Tomar contrapositivos no es algo natural , y a menudo te sorprenderás cuando hagas esto.
Actualmente no puedo pensar en un buen ejemplo donde la contradicción realmente ayude. Lo editaré con una actualización si lo hago.
