¿Qué son las splines generalizadas? La Ciencia y la Tecnología mejoran el futuro

No he estudiado splines generalizadas, pero en base a mi comprensión de splines cúbicas , puedo inferir lo que me parece que debería ser el significado del término ” splines generalizadas ” o simplemente ” splines “. Si desea la definición palabra por palabra, tal vez pueda obtenerla de Wikipedia, pero tengo la intención de escribir mi parte como una definición de un texto matemático que, si escribiera un texto o tratado sobre métodos numéricos, sería la definición I compondría Tenga en cuenta que esto es evidencia de lo que me han llamado antes, y no siempre amablemente: “pedante”. 🙂

Primero, como creo que muchas personas que han aprendido sobre algún tipo de “splines” en matemáticas realmente han oído hablar de “splines cúbicas” o las han usado, escribiré lo que denominé la definición del término “aproximación de splines cúbicas”. “. Luego diré lo que quiero decir con “aproximación de spline cuadrática”, “aproximación de spline afín” (erróneamente, algunos autores pueden llamar a esto “aproximación de spline lineal”, así como los libros de cálculo a menudo usan mal el adjetivo “linear”) y ” aproximación de spline constante “. Después de eso, le diré lo que quiero decir con “aproximación de spline” o, de manera equivalente, “aproximación de spline generalizada”, en una línea relacionada, para mantener una cierta coherencia filosófica / matemática / pedagógica en mi terminología. No dude en buscar las definiciones existentes en Wikipedia o en algún texto o tratado sobre análisis numérico y corregirme si he malinterpretado la intención de esos autores, ya que el análisis numérico realmente no es mi área de investigación.

Supongamos que f es una función definida en un subintervalo I de la línea real, y supongamos que no conocemos una regla para f , es decir, no conocemos ninguna fórmula (expresión, etc.) que use la variable t , de modo que si x está en el intervalo I , entonces f ( x ) es igual a la expresión dada con x sustituido por t . Un ejemplo de tal expresión que desearíamos tener es algo así como f ( t ) = t ^ 4-3 t ^ 2 + t -5. Si esta fuera la expresión correcta para f, entonces para cualquier número x en I , calcularíamos f en x elevando al cuadrado x dos veces, restando del resultado tres veces el cuadrado de x , sumando x , y de ese resultado restando 5. Pero no tengo tal expresión o regla. Además, si somos científicos, podemos creer o afirmar que algún valor en el que estamos interesados, como, por ejemplo, la temperatura, es “expresable en función de la posición a lo largo del intervalo I ” (tal vez el intervalo I está ocupado por un delgado alambre o filamento estamos calentando en un extremo y enfriando en el otro). Pero debido a que nosotros, siendo buenos científicos, presumiblemente estamos haciendo un experimento, no presuponemos que conozcamos incluso los valores reales de la temperatura en cada número en el intervalo I. Solo lo medimos en algunas ubicaciones (números) y esperamos poder descubrir una regla razonable (expresión) f para que podamos tener cierta confianza en que la temperatura T en cualquier ubicación x en I esté lo suficientemente cerca para nuestros propósitos de f ( x ). Digamos que medimos la temperatura en 7 ubicaciones, denotadas por x _0, x _1, …, x _6, y digamos que los valores que obtenemos para nuestras mediciones son, en consecuencia, T _0, T _1, …, T _6. Geométricamente, esto significa que si trazo los puntos ( x _0, T _0), ( x _1, T _1),…, ( x _6, T _6) en un plano, entonces estos puntos se encuentran “casi en” la gráfica de f , si nuestras mediciones están bien hechas (con poco o ningún error) y si existe tal función f que da como resultado la temperatura en cada ubicación a lo largo del intervalo I. (Incluso si ninguna expresión nos da la distribución de temperatura, puede haber una función que proporcione la salida deseada para cada número x en I , porque hay innumerables más funciones de I en el conjunto de temperaturas posibles que expresiones que se pueden usar para definir tales funciones.) Por lo tanto, buscamos una función cuya gráfica pase por los siete puntos. Una forma de hacerlo es con una aproximación spline cúbica al conjunto de datos

{( x _0, T _0), ( x _1, T _1),…, ( x _6, T _6)}.

Después de resolver algunos de los detalles para este ejemplo, le diré una definición más formal. En este ejemplo, usaré dos splines. Deje s _1 y s _2 ser esas dos splines. Para decir que estoy usando una aproximación spline cúbica, debo requerir que s _1 y s _2 sean funciones polinómicas cúbicas, pero todavía no conozco sus coeficientes:

s _1 ( t ) = a _ {0,1} + a _ {1,1} t + a _ {2,1} t ^ 2 + a _ {3,1} t ^ 3,

y de manera similar,

s _2 ( t ) = a _ {0,2} + a _ {1,2} t + a _ {2,2} t ^ 2 + a _ {3,2} t ^ 3.

Además, el requisito de que nuestro gráfico de aproximación de spline cúbico pase por los 7 puntos de datos dados conduce a las siguientes condiciones adicionales:

s _1 ( x _0) = T _0, s _1 ( x _1) = T _1,…, s _1 ( x _3) = T _3,

y de manera similar,

s _2 ( x _3) = T _3, s _2 ( x _4) = T _4,…, s _2 ( x _6) = T _6,

que resulta ser un sistema de 4 ecuaciones lineales en los coeficientes de s _1 y luego un sistema de 4 ecuaciones lineales en los coeficientes de s _2. Dado que s _1 y s _2 pasan a través del punto ( x _3, T _3), se deduce que la aproximación de spline cúbica c cumple con nuestros requisitos y es una función continua desde I hacia la línea real, donde definimos c de la siguiente manera (it no es absolutamente necesario que una aproximación spline cúbica sea una función continua, si su aplicación no requiere continuidad, pero la mayor parte de la discusión sobre la aproximación spline cúbica se centra en las continuas, y por lo tanto, yo también lo haré:

c ( t ) = ( s _1 ( t )) ( H ( t – x _0) – H ( t – x _3)) + ( s _2 ( t )) ( H ( t – x _3) – H ( t – x _6)),

donde por H nos referimos a la función de paso de Heavyside , dada por

H ( t ) = if (t> 0 o t = 0,1, de lo contrario (0)).

(Tenga en cuenta que si a < b en la línea real, H ( t – a ) – H ( t – b )) describe una llamada onda cuadrada , de altura 1, y multiplicando por s _1 en un caso, y multiplicando por s _2 en el otro caso, se obtiene una parte de la gráfica de s _1, seguida de una parte de la gráfica de s _2, en el intervalo I , con un punto en común entre las dos partes. Este uso de la función de pasos de Heavyside no es infrecuente en ecuaciones diferenciales o teoría de control, pero no estoy seguro de cuántas presentaciones de métodos numéricos lo usan de esta manera.) Esto es una aproximación a la distribución de temperatura en ese cable delgado que podría ser útil en varios cálculos después de esto.

Ahora para la definición formal de aproximación spline cúbica:

Definición: Permite que se den puntos de datos ( x _0, T _0),…, ( x _n, T _n), ya sea como muestras de alguna función f definida en I , o como puntos “cerca” del gráfico de dicha función f . Entonces, una aproximación de spline cúbica continua correspondiente a f es una función continua dada por una fórmula como

c ( t ) = ( s _1 ( t )) ( H ( t -x_0) – H ( t – x _ {j_1})) + ( s _2 ( t )) ( H ( t – x _ { j _1} ) – H ( t – x _ { j _1})) +… + ( s _ { k -1} ( t )) ( H ( t – x _0) – H ( t – x _ { j _ { k – 1}})) + ( s _ k ( t )) ( H ( t – x _ { j _ k }) – H ( t – x _ { j _ { k -1}})),

donde 0 < j _1 < j _2 <… < j _ k = n , y s _1, …, s _ k son funciones polinómicas cúbicas.

Darse cuenta de
1. No exigí que todas las piezas cúbicas se determinen por el mismo número de puntos de datos originales, como lo hice en el primer ejemplo, y que
2. En la definición, no describí un algoritmo para obtener una aproximación spline cúbica específica que utiliza un cierto número de puntos de datos por “pieza” cúbica. Esto hace que la definición sea más flexible para que uno pueda adaptar la noción como mejor le parezca y escribir un algoritmo para su propia aplicación, basado en este concepto de spline cúbico. También facilitará la simplicidad y la sencillez de las definiciones prometidas restantes.

Ahora pasemos a las aproximaciones de spline cuadráticas . Uno puede no escuchar mucho esa terminología, pero su uso ha estado en pleno apogeo durante siglos. Espero que en un texto de métodos numéricos, uno los encuentre por un nombre u otro con el que estoy menos familiarizado. Un lugar en el que se utilizan los discontinuos, así como los continuos o incluso diferenciables, es la aproximación de integrales por el método de Simpson o por la cuadratura gaussiana . Para comenzar la discusión de las aproximaciones de spline cuadráticas, recordemos nuestro conjunto de datos de temperatura, pero con dos puntos de datos menos:

{( x _0, T _0), ( x _1, T _1),…, ( x _4, T _4)}.

En este ejemplo, como antes, usaré dos splines. Deje s _1 y s _2 ser esas dos splines. Para decir que estoy usando una aproximación spline cuadrática, debo exigir que s _1 y s _2 sean funciones polinómicas cuadráticas, pero aún no conozco sus coeficientes:

s _1 ( t ) = a _ {0,1} + a _ {1,1} t + a _ {2,1} t ^ 2,

y de manera similar,

s _2 ( t ) = a _ {0,2} + a _ {1,2} t + a _ {2,2} t ^ 2.

El requisito de que nuestro gráfico de aproximación de spline cuadrático pase por los 5 puntos de datos dados conduce a las siguientes condiciones adicionales:

s _1 ( x _0) = T _0, s _1 ( x _1) = T _1, s _1 ( x _2) = T _2,

y de manera similar,

s _2 ( x _2) = T _2, s _2 ( x _3) = T _3, s _2 ( x _4) = T _4,

que resulta ser un sistema de 3 ecuaciones lineales en los coeficientes de s _1 y luego un sistema de 3 ecuaciones lineales en los coeficientes de s _2. Esta vez, nuestra aproximación continua spline cuadrática a la distribución de temperatura en el cable viene dada por

q ( t ) = ( s _1 ( t )) ( H ( t – x _0) – H ( t – x _2)) + ( s _2 ( t )) ( H ( t – x _2) – H ( t – x _4)).

Antes de continuar con un ejemplo de una aproximación continua spline afín y más definiciones, comentaré por qué uso el adjetivo “afín” donde otros a menudo usan el adjetivo “lineal”. Todas las ideas descritas aquí se pueden desarrollar muy bien en otros entornos, como los espacios de dimensiones superiores, lo que lleva a espacios de matriz, espacios vectoriales, espacios de Hilbert, espacios de Banach y una miríada de otros espacios de funciones. En esos entornos, muy importante es el concepto de una transformación lineal . En esos contextos, una transformación lineal siempre , siempre , asigna el vector cero al vector cero. Los números reales forman un espacio vectorial unidimensional. Por lo tanto, un operador lineal definido en la línea real asigna de cero a cero. En los libros de texto de cálculo, esto se fastidia al llamar a las funciones lineales si están definidas por una expresión de la forma mx + b , donde b es la intersección ym es la pendiente de la línea que es el gráfico de la función en cuestión. Pero si la intersección no es cero, entonces la función cuyo gráfico tiene esa intersección distinta de cero no asigna cero a cero. En los contextos dimensionales superiores, así como en el caso unidimensional, el gráfico de una transformación lineal es un subespacio de un determinado espacio vectorial, en el caso unidimensional, el gráfico es un subespacio del plano bidimensional. La traducción de este subespacio por la intersección produce el gráfico de la función afín con esa intersección y la misma pendiente que la función lineal original. La falta de mención de este y una miríada de otros enfoques más modernos para el cálculo y sus aplicaciones en los textos de cálculo modernos es una gran cantidad de errores pedagógicos perpetuados por las compañías editoriales que solo quieren sacarle provecho al material republicado que no debería revisarse de la manera se está haciendo, y ese horrendo fuego anti-avance es impulsado por la inclinación moderna en educación a enfocarse únicamente en hacer felices a los estudiantes “C” sin alienar a los estudiantes “D” y sin aburrir a la muerte a los estudiantes “B”, pero completamente ignorando las necesidades de los mejores estudiantes, se implementa a través de la versión moderna de la evaluación de calidad en colegios y universidades en la que las únicas medidas tomadas involucran medidas de “felicidad” y solo una o dos de estas medidas extremadamente defectuosas se utilizan para decidir los aumentos salariales, las decisiones de contratación , decisiones de tenencia, decisiones de promoción y tareas de enseñanza. Se pueden perdonar textos antiguos, antiguos y antiguos de cálculo por esta falla en la actualización, pero los últimos nunca deberían publicarse sin tratamientos más modernos integrados en la pedagogía para que al menos esos pocos estudiantes principales que realmente se toman el tiempo de leer algunas páginas del libro de texto obtendrá algo que no se contradirá en un curso posterior en el que el instructor presenta una versión más convincente y actualizada de un curso como álgebra lineal o ecuaciones diferenciales o análisis numérico.

Ahora pasemos a las aproximaciones continuas de splines afines . De nuevo, uno puede no escuchar mucho esa terminología, pero por supuesto, se usan mucho. Probablemente, los lectores amables están más acostumbrados al término “lineal por partes” en este contexto. (A la luz de mi incursión anterior en la filosofía pedagógica, sugeriría que los textos de métodos numéricos usen un término como ” afinado por partes “). Para comenzar la discusión de aproximaciones de spline cuadráticas, recordemos nuestro conjunto de datos de temperatura, pero con dos puntos de datos menos una vez más:

{( x _0, T _0), ( x _1, T _1), ( x _2, T _2)}.

En este ejemplo, como antes, usaré dos splines. Deje s _1 y s _2 ser esas dos splines. Para decir que estoy usando una aproximación de spline afín, debo exigir que s _1 y s _2 sean funciones afines, pero todavía no conozco sus coeficientes:

s _1 ( t ) = a _ {0,1} + a _ {1,1} t ,

y de manera similar,

s _2 ( t ) = a _ {0,2} + a _ {1,2} t .

Sus gráficos son líneas rectas en el plano real, y sus intersecciones son a _ {0,1} y a _ {0,2}, respectivamente. Del mismo modo, sus pendientes son, respectivamente, un _ {1,1} y un _ {1,2}. El requisito de que nuestro gráfico de aproximación spline afín pase a través de los 3 puntos de datos dados conduce a las siguientes condiciones adicionales:

s _1 ( x _0) = T _0, s _1 ( x _1) = T _1,

y de manera similar,

s _2 ( x _1) = T _1, s _2 ( x _2) = T _2,

que resulta ser un sistema de 2 ecuaciones lineales en los coeficientes de s _1 y luego un sistema de 2 ecuaciones lineales en los coeficientes de s _2. Esta vez, nuestra aproximación continua spline cuadrática a la distribución de temperatura en el cable viene dada por

a ( t ) = ( s _1 ( t )) ( H ( t – x _0) – H ( t – x _1)) + ( s _2 ( t )) ( H ( t – x _1) – H ( t – x _2)).

La gráfica de a es una curva poligonal en el plano real con como máximo un punto de no diferenciabilidad, en el punto ( x _1, T _1).

Es posible que los lectores emprendedores ya hayan anticipado las definiciones formales, pero aquí están para su entretenimiento:

Definición: Permite que se den puntos de datos ( x _0, T _0),…, ( x _n, T _n), ya sea como muestras de alguna función f definida en I , o como puntos “cerca” del gráfico de dicha función f . Entonces, una aproximación spline cuadrática continua correspondiente a f es una función continua dada por una fórmula como

donde 0 < j _1 < j _2 <… < j _ k = n , y s _1, …, s _ k son funciones polinómicas cuadráticas.

Definición: Permite que se den puntos de datos ( x _0, T _0),…, ( x _n, T _n), ya sea como muestras de alguna función f definida en I , o como puntos “cerca” del gráfico de dicha función f . Entonces, una aproximación de spline afín continua correspondiente a f es una función continua dada por una fórmula como

donde 0 < j _1 < j _2 <… < j _ k = n , y s _1, …, s _ k son funciones afines.

He decidido renegar de una promesa y dejarla como ejercicio:

Ejercicio: Adapte los ejemplos y definiciones anteriores para desarrollar la noción de una aproximación continua continua de spline . ¿Qué funciones concuerdan con al menos una de sus aproximaciones de spline constantes y continuas?

Ahora, como se prometió, explicaré lo que debería significar el término ” aproximación generalizada de splines “, pero como antes, restringiré mi atención a la versión continua.

Volvamos a nuestro conjunto de datos original:

{( x _0, T _0), ( x _1, T _1),…, ( x _6, T _6)}.

En este ejemplo, como antes, usaré dos splines. Deje s _1 y s _2 ser esas dos splines. Para decir que estoy usando una aproximación general de spline, solo necesito que s _1 y s _2 sean funciones, pero todavía no conozco sus formas funcionales, incluso si están dadas por expresiones. Sin embargo, señalaré en un momento dónde sería bueno presumir ciertas formas funcionales para mis dos splines. El requisito de que nuestro gráfico de aproximación de spline pase por los 7 puntos de datos indicados conduce a las siguientes condiciones adicionales:

s _1 ( x _0) = T _0, s _1 ( x _1) = T _1,…, s _1 ( x _3) = T _3,

y de manera similar,

s _2 ( x _3) = T _3, s _2 ( x _4) = T _4,…, s _2 ( x _6) = T _6,

que resulta ser un sistema de 4 ecuaciones (posiblemente no lineales). Por consiguiente, exigiremos que nuestras splines s _1 y s _2 se puedan describir en términos de 4 parámetros cada una, e intentaremos (y asumiremos con éxito) evitar elegir s_1 o s_2 para que los sistemas de ecuaciones no sean consistentes y intentará también evitar elegir s_1 o s_2 para que las ecuaciones anteriores estén subdeterminadas en relación con los parámetros que las describen. Es decir, suponemos lo siguiente:

Entre nuestros candidatos elegidos para s_1, hay una función única s_1 tal que

s _1 ( x _0) = T _0, s _1 ( x _1) = T _1,…, s _1 ( x _3) = T _3,

y entre nuestros candidatos elegidos para s_2, existe una función única s_2 tal que

s _2 ( x _3) = T _3, s _2 ( x _4) = T _4,…, s _2 ( x _6) = T _6,

Resolvemos los sistemas de ecuaciones anteriores para encontrar las soluciones únicas, encontrando así el único s_1 y el único s_2 que satisfacen esos sistemas, respectivamente. Dado que s _1 y s _2 pasan por el punto ( x _3, T _3), se deduce que la aproximación general de spline g cumple con nuestros requisitos y, si s _1 y s _2 son continuas, es una función continua desde I hacia lo real línea, donde definimos g de la siguiente manera

g ( t ) = ( s _1 ( t )) ( H ( t – x _0) – H ( t – x _3)) + ( s _2 ( t )) ( H ( t – x _3) – H ( t – x _6)).

Ahora daré una definición formal y la seguiré con un ejemplo utilizando nuestro conjunto de datos que consta de siete mediciones de temperatura hipotéticas.

Definición: Deje que se den puntos de datos ( x _0, T _0),…, ( x _n, T _n), ya sea como muestras de alguna función f definida en I , o como puntos “cerca” del gráfico de dicha función f , y que S sea una familia de funciones (continuas) con la siguiente propiedad:

Existe algún número entero positivo n y hay alguna subcolección K de S de modo que K incluye solo n de las funciones de la familia S , y para cada número x en I , hay algunas funciones s en K con x en el dominio de s .

Entonces, una aproximación S spline continua correspondiente a f es una función continua dada por una fórmula como

donde 0 < j _1 < j _2 <… < j _ k = n , y s _1, …, s _ k son funciones elegidas de la familia S , de modo que si x está en el intervalo [ x _ j , x _ { j +1}], donde j es un entero no negativo entre 0 yn , inclusive, entonces x está en el dominio de s _ j .

Por ejemplo, si S es la familia de todas las funciones exponenciales definidas por expresiones de la forma

s (t) = (a) exp ((tm) / q),

donde a, myq son números reales, y si nuestras temperaturas son todas positivas, entonces podemos encontrar una aproximación continua S spline, utilizando tres miembros de S , para nuestros datos de temperatura, de la forma

c (t) = ((a_1) exp ((t-m_1) / q_1) ( H ( t -x_0) – H ( t – x _2)) + ((a_2) exp ((t-m_2) / q_2) ( H ( t -x_2) – H ( t – x _4)) + ((a_3) exp ((t-m_3) / q_3) ( H ( t -x_4) – H ( t – x _6)).

Necesitábamos 3 funciones en lugar de solo dos de S porque S no es una familia de funciones de 4 parámetros sino solo una familia de tres parámetros. Por lo tanto, si utilizamos solo dos funciones de S , las ecuaciones para garantizar la continuidad serían demasiadas por spline.

Espero que al escribir esto en mi iPod, no haya fallado en detectar ningún error, pero si hay errores, no dude en hacérmelo saber. Intentaré editarlo si es necesario.

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