¿Por qué las raíces del polinomio [matemáticas] P (z) = P_1 (z) \ cdot P_2 (z) [/ matemáticas] la unión de las raíces de [matemáticas] P_1 (z) [/ matemáticas] y [matemáticas] P_2 (z) [/ matemáticas]?

Su terminología es vaga, pero sé lo que está pidiendo.

Hay dos cosas que probar:

1. Cualquier raíz de P es una raíz de al menos uno de P1 y P2.
2. Una raíz de P1 debe ser una raíz de P, de manera similar, una raíz de P2 debe ser una raíz de P.

Para lo primero: Sea x una raíz. Entonces P (x) es 0. Suponga que no es una raíz de P1 o P2. Entonces P1 (x) y P2 (x) son ambos distintos de cero. Asumiendo que estamos en un dominio integral (los reales son un ejemplo), esto lleva a una contradicción. Si no estamos en un dominio integral, entonces estamos jodidos, ya que existe la posibilidad de contraejemplo.

Para la segunda cosa: Sea t una raíz de P1. Entonces P1 (t) = 0. Esto implica que P (t) = 0 ya que 0 multiplicado por algo da 0. El mismo argumento para las raíces de P2.

Esto puede explicarse si aceptamos doblar un poco las palabras. Por una versión ligeramente exagerada del teorema del factor, cualquier raíz ir [matemáticas] P (z) = 0 [/ matemáticas] es una raíz de [matemáticas] P_1 [/ matemáticas] o [matemáticas] P_2 [/ matemáticas] y viceversa . Sin embargo, si usamos los conjuntos de términos para describir la colección de raíces, entonces tendríamos que aceptar contar la multiplicidad. Entonces, si, digamos [math] z = 1 [/ math] es una raíz de P dos veces, entonces se cuenta en la unión dos veces.