¿Por qué los matemáticos prueban teoremas ya probados? ¿Por qué no enfocarse solo en probar conjeturas?

En su mayor parte, los matemáticos no se centran en probar resultados ya bien establecidos. Sin embargo, a veces producen pruebas de teoremas bien establecidos nuevamente. Esto se hace por una o más de las siguientes razones:

1. El matemático está trabajando en otro problema y se topa con una prueba diferente de un teorema bien establecido que utiliza su trabajo. Entonces él o ella lo informa en su trabajo, como una nota al margen, por así decirlo.
2. Algunos matemáticos simplemente prefieren su propia prueba de un resultado particular, en lugar de la prueba escrita en el documento original donde se publicó por primera vez.
3. En relación con el punto 2, en ciertos casos, un matemático puede descubrir una prueba más corta o más simple de un teorema bien establecido, por lo que lo informa.
4. A veces, las nuevas pruebas de resultados ya bien establecidos proporcionan una nueva visión de ese resultado, lo que permite descubrir nuevos teoremas sobre ese tema.
5. En algunos casos, los matemáticos obtienen placer del hecho de que un resultado bien establecido que generalmente utiliza técnicas de una determinada rama de las matemáticas es reprobado utilizando una rama de las matemáticas completamente diferente.

Como no matemático (ok, revisé los Tripos de matemáticas con un segundo medio, así que tal vez sé un poco más que la mayoría), falta un factor importante en las otras respuestas.

Los matemáticos aprenden acerca de las matemáticas al demostrar los teoremas de otras personas como estudiantes universitarios. Luego hacen la transición para convertirse en matemáticos que trabajan demostrando algo nuevo, demostrando que están calificados para investigar en un área específica de las matemáticas. Pasan tres o cuatro años como estudiantes universitarios, y luego otro período similarmente largo como estudiante graduado.

Imagínese ahora un profesor de treinta y tantos años. Es posible que haya pasado los últimos diez años demostrando una generalización de su tesis doctoral. Probablemente publicará algunos documentos en el camino y colaborará con otros. No todos son como Andrew Wiles y son capaces de probar un teorema que quizás fue solo una conjetura de Fermat. Dado que le llevó tres años presentar la tesis doctoral original, y otra década para recoger suficientes herramientas matemáticas para generalizarla, probablemente habrá pasado tiempo probando teoremas que ya eran conocidos ‘por sí misma’ para ayudar a mejorar ese cofre de herramientas .

No soy más autor que matemático. Me gusta leer libros, pero escribir uno es difícil. Ahora algunos teoremas son relativamente simples. El nombre de Pitágoras se utilizó para, por ejemplo. Hay un libro que contiene 370 pruebas diferentes (teorema de Pitágoras – Wikipedia). Todos deberían aprender al menos un par de ellos y poder reproducirlos. Cada uno tiene aproximadamente el mismo nivel que un Limerick (poema) en complejidad. Los niños inteligentes de trece años deberían poder hacer frente. Un título universitario en matemáticas mostrará la capacidad de probar teoremas conocidos en un nivel similar al de traducir a otro idioma para un lingüista. El equivalente literario de producir un nuevo teorema para la tesis doctoral se parece más a escribir un libro como The Hobbit . Los diez años generalizando, como escribir El señor de los anillos , incluidos los apéndices, por supuesto.

Los autores reescriben historias todo el tiempo, por supuesto. Pigmalión se basó en un mito griego, y luego se adaptó como My Fair Lady . Shakespeare basó a Romeo y Julieta en otro trabajo, y luego llegó West Side Story y la versión de Baz Luhrmann.

El teorema de cuatro colores es un buen ejemplo de un teorema que se probó, y luego se mejoró la prueba. Aunque estoy bastante seguro de que esto se basó en la conjetura de que la prueba podría mejorarse, probablemente haya habido momentos fortuitos en los que un matemático que trabaja lee un resultado en algún papel u otro, y luego al recrearlo para su propio disfrute descubre un prueba más corta

Un último punto: la investigación matemática no se trata necesariamente de probar conjeturas, las suyas o las más antiguas. Solía ​​ser (en la escuela, no en la universidad) muy bueno para entender las matemáticas, pero explorar nuevas áreas es mucho más difícil. Hay una razón por la que primero aplicamos las matemáticas, luego aprendemos pruebas y luego probamos cosas nuevas. Es dificil Y así como muchos autores refrescarán sus jugos creativos leyendo los trabajos de otros, los matemáticos lo harán al volver a probar los trabajos de otros.

A2A: Alexander Farrugia ha proporcionado una muy buena lista de razones por las cuales un matemático podría elegir buscar y / o publicar una nueva prueba de un teorema establecido. Me gustaría señalar que la alternativa no necesita ser un ataque a una conjetura no probada. De hecho, se gasta mucho más tiempo de los matemáticos en el esfuerzo de descubrir nuevos resultados para probar, especialmente los resultados que tienen una aplicación útil o mejoran nuestra percepción. Incluso cuando fallan esas motivaciones, un resultado elegante y sorprendente aún puede ser muy satisfactorio para alguien que aprecia las matemáticas por sí mismo, y la relevancia a veces puede surgir mucho más tarde.

¿Te refieres a mostrar pruebas en clase? Eso es solo para mostrar a los estudiantes cómo se obtienen los resultados.

Siempre les dije a los estudiantes que deberían comprender por sí mismos de dónde provenían los resultados, además de decir: “Bueno, el Sr. Coyle dijo esto”. Eso no es una prueba.

Si quiere decir en la investigación, una prueba de una teoría ya probada casi nunca es publicable, y como tal no se buscaría. El único caso que se me ocurre es cuando un resultado previamente conocido ahora se convierte en el corolario de una nueva teoría. Esto simplificaría enormemente la prueba anterior y, por lo tanto, sería la forma en que se presentó la prueba (como resultado de una situación más general).

El único otro caso en el que puedo pensar es si la prueba es de alguna manera “mejor” en algún sentido. Las pruebas constructivas tienden a ser preferidas, por lo que en el caso de que una prueba constructiva pueda reemplazar a una prueba de existencia, podría hacerse, pero no estoy seguro de que sea un área fructífera de investigación.

Un área que queda cubierta nuevamente sería el modelado y los algoritmos. Un nuevo modelo más preciso, o un algoritmo más preciso o más eficiente para resolver problemas es un área fructífera de investigación. Se necesitan pruebas similares de estabilidad y convergencia, pero estas son nuevas pruebas para nuevos algoritmos. Un ejemplo de ello sería la transformación rápida de Fourier (FFT). Antes de eso, existían algoritmos para transformadas discretas de Fourier, pero tomaban un tiempo proporcional a N al cuadrado para los vectores de longitud N. El FFT lo cambió a tiempo computacional proporcional a N veces log (N), que es mucho más rápido para el N. grande

A medida que las computadoras se vuelven más rápidas, queremos resolver problemas más grandes, por lo que es importante seguir desarrollando nuevos algoritmos para conjuntos de datos cada vez más grandes.

Esto se debe a que los humanos aprenden linealmente, no exponencialmente.

Es difícil ver cómo puede probar conjeturas no comprobadas sin que su base en matemáticas sea lo suficientemente fuerte. Y para fortalecer su base, primero debe “nadar” en las matemáticas “más fáciles” y luego saltar a mayores alturas. La gente me llama genio por tener buenos resultados en algunos exámenes locales (soy de la India). Pero si el objetivo es probar conjeturas no comprobadas, no está de más saber cómo se pueden probar los hechos más fácilmente y cómo se ve una prueba aproximadamente.

Si viste algunas pruebas de problemas que usan el Principio de Pigeon Hole, pensarás que “las matemáticas son hermosas”. Pero no todos los problemas teóricos de números pueden resolverse con el Principio de Pigeon Hole. Algunos, por lo tanto, requieren matemáticas sofisticadas, fuera del dominio de las escuelas y la mayoría de las universidades.

El último párrafo se dedujo de un video de Youtube de Terrence Tao tratando de dar una charla en matemáticas, pero evitando discutir su teorema demostrado con Ben Green, sobre números primos que ocurren con cualquier diferencia común arbitraria, como AP.