¿Cómo encuentro todas las soluciones complejas de [matemáticas] i ^ {i} [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 ^ {2i} [/ matemáticas]?

Si z y c son números complejos, entonces [math] z ^ {c} = e ^ {c \ ln z} [/ math], donde [math] \ ln z = \ ln (| z |) + i arg ( z) [/ matemáticas]. Aplicando esta definición a [matemáticas] i ^ {i} [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] i ^ {i} = e ^ {i \ ln i} [/ matemáticas]. [matemáticas] | i | = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] arg (i) = \ frac {\ pi} {2} + 2k \ pi [/ matemáticas], [matemáticas] k = 0, \ pm 1, \ pm 2, … [/ math], de modo que [math] \ ln i = \ ln (1) + i2k \ pi = i (\ frac {\ pi} {2} + 2k \ pi) [/ math]. Entonces, [matemáticas] i ^ {i} = e ^ {- \ frac {\ pi} {2} + 2k \ pi} [/ matemáticas], [matemáticas] k = 0, \ pm 1, \ pm 2, … [/matemáticas]

Aplicando la misma definición a [matemáticas] 1 ^ {2i} [/ matemáticas], da [matemáticas] 1 ^ {2i} = e ^ {2i \ ln 1} [/ matemáticas]. [matemática] | 1 | = 1 [/ matemática], [matemática] arg (1) = 2k \ pi [/ matemática], [matemática] k = 0, \ pm 1, \ pm 2,… [/ matemática], para que [math] \ ln 1 = \ ln 1 + i2k \ pi = i2k \ pi [/ math]. Entonces, [matemáticas] 1 ^ {2i} = e ^ {- 4k \ pi}, k = 0, \ pm 1, \ pm 2,… [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {2 \ pi ki} = 1 [/ matemáticas] para entero [matemáticas] k [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ i = (e ^ {i \ pi / 2}) ^ i = (e ^ {i \ pi / 2} e ^ {2 \ pi ki}) ^ i = e ^ {- \ pi / 2 – 2 \ pi k} = e ^ {- \ pi / 2} (e ^ {- 2 \ pi}) ^ {k} [/ matemáticas]

Es un conjunto infinitamente contable de números reales, uno para cada [matemática] k. [/ Matemática] [matemática] k = 0 [/ matemática] da [matemática] e ^ {- \ pi / 2} \ aprox 0.207879576 [/ matemática ] y podemos multiplicar o dividir cualquier número de veces por un número que aparece mucho en estos problemas, [matemática] e ^ {2 \ pi} \ aprox 535.5. [/ matemática] [matemática] k [/ matemática] rangos sobre los enteros para que el signo menos en [matemáticas] e ^ {- 2 \ pi} [/ matemáticas] realmente no juegue un papel.

[matemáticas] 1 ^ {2i} [/ matemáticas] es divertido porque [matemáticas] (1 ^ 2) ^ i [/ matemáticas] y [matemáticas] (1) ^ {(2i)} [/ matemáticas] pueden dar diferentes respuestas . Nos pidieron todas las soluciones complejas (los valores podrían ser una mejor palabra) de [math] 1 ^ {2i} [/ math], así que vamos con la que tenga más valores.

[matemáticas] 1 ^ {2i} = (1 ^ 2) ^ i = 1 ^ i = (e ^ {2 \ pi ki}) ^ {i} = e ^ {- 2 \ pi k} [/ matemáticas]

De nuevo un conjunto infinitamente contable de números reales. [matemática] k = 0 [/ matemática] da [matemática] 1 [/ matemática], y nuevamente podemos multiplicar o dividir cualquier número de veces por [matemática] e ^ {2 \ pi}, [/ matemática] entonces [matemática] ] e ^ {2 \ pi} [/ math] es otro valor de [math] 1 ^ {2i} [/ math]. [math] [/ math] No sería si no hubiéramos cuadrado primero; entonces el siguiente valor habría sido [math] e ^ {4 \ pi}. [/ math]

Tengo que meditar sobre esto. ¿Qué pasa si elevamos ambos lados a la potencia [matemática] -i [/ matemática] y dijimos que [matemática] z = 1 ^ {2i} [/ matemática] era la solución a la ecuación

[matemáticas] z ^ {- i} = 1 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {z ^ {i}} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] z ^ i = 1 [/ matemáticas]

Sabemos que la solución a eso es [matemáticas] z = e ^ {2 \ pi k} [/ matemáticas], así que creo que estoy de acuerdo con la forma en que da más soluciones.

Las soluciones se refieren a ecuaciones. Es cierto que la función exponencial es periódica, pero para una entrada específica se obtiene una salida específica.

El primero es un número real y el segundo es 1.

⑴ i = e ^ (iπk / 2) k = 4n — 3, n = cualquier número entero

i ^ i = (e ^ (iπk / 2)) ^ i = e ^ (i²πk / 2) = e ^ (- ½kπ) = 1 / (e ^) ½kπ, k = 4n — 3, n = cualquier número entero.

⑵ 1 = e ^ 2kπi, k = cualquier número entero

1 ^ i = (e ^ 2kπi) i = e ^ (- 2kπ) = 1 / e (2kπ), k cualquier número entero.