¿Qué significa el determinante de una matriz?

Primero, examinemos qué matrices “son realmente”: cuando multiplica una matriz por las coordenadas de un punto, le da las coordenadas de un nuevo punto. De esta manera, podemos pensar en una matriz como una transformación que convierte puntos en el espacio en diferentes puntos en el espacio. Y de esto se trata la aritmética de matrices: las matrices representan transformaciones (específicamente, las llamadas transformaciones “lineales”).

El determinante de una transformación es solo el factor por el cual explota el volumen (en el sentido apropiado para el número de dimensiones; “área” en 2d, “longitud” en 1d, etc.). Si el determinante es 3, triplica los volúmenes; si el determinante es 1/2, reduce a la mitad los volúmenes, y así sucesivamente.

(El único matiz para agregar a esto es que en realidad estamos hablando de volumen “orientado”. Es decir, nuestra transformación puede o no convertir las cifras al revés (por ejemplo, en 2d, podría girar en sentido horario en sentido antihorario; en 3d, podría convertir las manos izquierdas en manos derechas). Si da vuelta las cifras, su determinante se considera negativo).

Entonces, por ejemplo, en 3d: cualquier rotación tiene el determinante 1 porque deja el volumen sin cambios. Escalar todo por un factor de 2 tiene determinante [matemática] 2 ^ 3 [/ matemática] porque ese es el factor por el cual aumenta el volumen. Proyectar todo en un plano tiene el determinante 0, porque lo aplana todo al volumen 0. Cualquier reflejo tiene el determinante -1, porque lo vuelve todo al revés pero de lo contrario deja el volumen sin cambios. Y así…

Finalmente, una observación útil: si toma una transformación que multiplica el volumen por, digamos, 5, y la sigue con una transformación que multiplica el volumen por 3, entonces, en general, el volumen se multiplicará por 5 * 3. Multiplicar matrices equivale a encadenar transformaciones de principio a fin de esta manera, por lo que el determinante de un producto de matrices es el producto de sus determinantes.

[La razón por la que una transformación lineal tiene que hacer explotar los volúmenes de todas las regiones por el mismo factor, si te importa, es esta: siempre puedes pensar en cualquier región como compuesta por muchas regiones pequeñas, todas idénticas excepto por su posición. Cada una de estas pequeñas regiones se transforma de la misma manera, excepto por la posición (esta es la “linealidad”), por lo que la gran región explota en el mismo factor que cada una de las pequeñas regiones. Por lo tanto, puede pensar en el determinante como la cantidad por la cual su pequeña forma favorita escala en volumen, y puede estar seguro de que todas las demás regiones también se escalan por el mismo factor.]

Hay una muy buena interpretación geométrica del determinante si piensas que una matriz describe una transformación lineal.

Una matriz [matemática] A [/ matemática] puede considerarse como una descripción de la transformación lineal [matemática] y = Ax [/ matemática] donde [matemática] x [/ matemática] es un vector y la multiplica por [matemática] A [ / math] lo transforma en [math] y [/ math].

Antes de continuar, quiero desviarme brevemente y hablar un poco sobre las transformaciones. ¿Alguna vez se preguntó por qué decimos “transformación” en lugar de “función”? Si está más acostumbrado a pensar en álgebra cómo lo enseñaron en la escuela secundaria (por ejemplo), entonces probablemente piense en [math] y = Ax [/ math] como un sistema de ecuaciones lineales como este:

[matemáticas] y_1 = a_ {11} x_1 + a_ {12} x_2 +… + a_ {1n} x_n [/ matemáticas]

[matemáticas] y_2 = a_ {21} x_1 + a_ {22} x_2 +… + a_ {2n} x_n [/ matemáticas]

[matemáticas] … [/ matemáticas]

[matemáticas] y_m = a_ {m1} x_1 + a_ {m2} x_2 +… + a_ {mn} x_n [/ matemáticas]

Si este tipo de pensamiento es a lo que está acostumbrado, entonces puede pensar que las transformaciones lineales son solo una abreviatura para los sistemas de ecuaciones lineales. Es importante comprender esta vista, pero hay una forma alternativa de ver las transformaciones lineales que pueden hacer que la comprensión del álgebra lineal sea mucho más intuitiva y útil.

Considere un vector [matemáticas] x [/ matemáticas] de longitud n. Sabemos que [math] x [/ math] puede escribirse como una lista de números, y en nuestra antigua visión de las matrices, esos números se convierten en las entradas de un conjunto de ecuaciones lineales que se multiplican usando el producto punto con cada uno de los se escupen filas de [matemáticas] [/ matemáticas] y un nuevo vector [matemáticas] y [/ matemáticas] donde cada entrada corresponde a un producto de punto de [matemáticas] x [/ matemáticas] con cada fila en [matemáticas] A [/matemáticas]. Bruto…

Pero probablemente haya visto / escuchado que los vectores también se pueden ver como flechas, con una dirección y una magnitud en el espacio. En esta vista, cada una de las entradas en [math] x, x_i [/ ​​math] representa la magnitud de [math] x [/ math] proyectada en el eje en la dimensión [math] i ^ {th} [/ math] , pero generalmente no pensamos demasiado en estos números hasta que necesitamos hacer cálculos reales.

¿Qué significa [matemática] y [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] Axe [/ matemática] en este contexto? En realidad es bastante sorprendente, mucho más simple, y es la razón por la que lo llamamos una “transformación” y no una función. En esta nueva vista geométrica, pensamos en [matemáticas] A [/ matemáticas] como “transformar” [matemáticas] x [/ matemáticas] en [matemáticas] y [/ matemáticas]. Es una distinción sutil, pero lo cambia todo.

¿Qué tal un ejemplo simple …

Considera la matriz

[matemática] A = \ left (\ begin {array} {cc} 0 y -1 \\ 1 & 0 \ end {array} \ right) [/ math]

como un simple ejemplo. Esta matriz se denomina “matriz de rotación” porque cualquier vector de entrada [matemática] x [/ matemática] que coloque en [matemática] Ax [/ matemática] se rotará 90 grados. Entonces, cuando decimos [math] y = Ax [/ math] realmente estamos diciendo que [math] y [/ math] es [math] x [/ math] después de que lo transformamos (en este caso lo rotamos).

De hecho, podemos pensar en esta transformación (o cualquier transformación) como si girara todo el espacio. Eso suena loco, pero realmente es así de malo. Debido a que una transformación es esencialmente una función, puede conectar cualquier punto en el espacio (cualquier vector) y la salida se rotará 90 grados.

Ok … entonces, ¿qué tiene esto que ver con tu pregunta? Bueno, veamos un ejemplo diferente:

[matemática] A = \ left (\ begin {array} {cc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \ end {array} \ right) [/ math]

¿Qué hace esta matriz?

Esta matriz en realidad estira cualquier vector para que tenga el doble de su tamaño (haz los cálculos y es fácil ver por qué). ¿Por qué importa esto? Bueno, ¿recuerdas cuando dije que la matriz de rotación que teníamos antes podría considerarse como la rotación de todo el espacio? Bueno, ¿y si pensamos de esa manera sobre esta matriz? Se está expandiendo todo el espacio 4 veces (si pensamos en un cuadrado en el espacio, se extenderá 2 en cada dirección).

Resulta que muchas transformaciones tienen esta propiedad de estirar el espacio por algún factor, y a menudo ese factor es más complicado que “4”. Sucede que el factor por el cual el espacio se estira es bastante útil en muchas situaciones, por lo que la gente de matemáticas le dio un nombre, el determinante.

Si desea una explicación mejor y más profunda de esto, le recomiendo encarecidamente esta serie de YouTube de 3Blue1Brown: Essence of linear algebra – YouTube

Si quieres saltar directamente a su explicación del determinante aquí está, pero en mi opinión, cada video de la serie es increíble y se complementan muy bien. ¡Míralos en orden si puedes! El determinante | Esencia de álgebra lineal, capítulo 5

EDITAR:

Olvidé un punto importante. Es posible que el determinante sea negativo. Es un poco más difícil explicar por qué visualmente sin mostrarlo, por lo que recomiendo el video de 3Blue1Brown para esta parte, pero lo intentaré. Básicamente, esto significa que, en lugar de solo estirar el espacio, ha estirado una de las dimensiones en la dirección opuesta a la que generalmente apunta. Entonces, si estira los vectores a lo largo del eje x (o eje y, o ambos) en la dirección negativa.

Un determinante es solo un número particular que obtienes cuando haces algunos cálculos matemáticos sobre los valores de una matriz cuadrada. El determinante es realmente simple de calcular, por lo que se usa en muchos lugares. Para tener una idea de lo que representa, vea esto:

Este es un cuadrilátero formado por dos vectores (a, b) y (c, d). Si crea una matriz desde los lados (será una matriz de 2 × 2), el determinante (valor absoluto) es igual al área de la forma.

En tres dimensiones:


El determinante es solo el volumen de la matriz 3 × 3 (valor absoluto).

Es posible generalizar tantas dimensiones como desee y seguir calculando el determinante, pero es un poco más difícil intuir lo que “significa” después de 3 dimensiones.
(imágenes copiadas generosamente de
http://en.wikipedia.org/wiki/Det …)

Cuanto más simple sea el inglés, más tendrá que haber.

Algunos puntos principales son

  • Una matriz es una transformación que se puede considerar como cualquier combinación de los botones “escalar”, “rotar”, “cortar” y “voltear” en Photoshop.
  • Como señalaron Vaibhav Mallya y Sridhar Ramesh, un factor determinante es cuánto multiplica una matriz el área de algo.
  • Si multiplica dos matrices, significa realizar ambas transformaciones. Si el primero multiplica las áreas por 3 y el segundo las multiplica por 5, al final las áreas salen 15 veces más grandes. Por lo tanto, como señaló Jay Wacker, [matemáticas] \ mathrm {det} (AB) = \ mathrm {det} (A) \ mathrm {det} (B) [/ math]
  • Esto significa que dos inversas tienen determinantes que se multiplican por uno.
  • Si una matriz tiene cero determinante, no tiene inversa porque nada multiplica a cero para dar un producto de uno.
  • Al estudiar las propiedades de las áreas y aplicar un poco de álgebra, puede derivar la fórmula para determinar la matriz.

Escribí una respuesta mucho más larga explicando estos puntos en detalle con imágenes, pero me encontré con algunas dificultades técnicas para obtenerla en el cuadro de respuesta. Está muy cerca de la respuesta de Sridhar, simplemente enunciada en más palabras y con gráficos. Lo he copiado a mi blog aquí si desea verlo:
http://arcsecond.wordpress.com/2

Una matriz [matemática] M \ cdot N [/ matemática] puede verse como una colección de esquinas M de una forma N dimensional que se obtiene conectando las puntas de los vectores de posición de estas esquinas a la punta del vector resultante de la adición del vector de estos vectores de posición [math] \ vec {R} [/ math], por líneas rectas.

Determinante de esta matriz es el espacio ocupado por esta forma.

[math] \ vec {R} [/ math] puede expresarse como la suma de sus proyecciones en las dimensiones N y la forma obtenida conectando las puntas de estos vectores de proyección a [math] \ vec {R} [/ math] ( [math] S [/ math] contiene [math] S_0 [/ math] y las formas que llenan el espacio [math] S_i [/ ​​math].

El espacio ocupado por [matemática] S_0 [/ matemática] ([matemática] V [/ matemática]) se puede obtener deduciendo el espacio ocupado por las formas del puente del espacio ocupado por [matemática] S [/ matemática].
Cuando se calcula algebraicamente, generalmente es el mismo que el valor del determinante de esta matriz.
Por ejemplo, la matriz [matemática] 2 \ cdot 2 [/ matemática] [matemática]
\ begin {bmatrix}
a & b
\\\\
discos compactos
\ end {bmatrix}
[/matemáticas]
puede verse como una colección de los puntos [matemática] (a, c), (b, d) [/ matemática] que son esquinas del paralelogramo bien conocido, mientras que las longitudes de los vectores de proyección de [matemática] \ vec {R } [/ math] son ​​[math] ({a + b}, {c + d})
[/matemáticas]

[matemática] V_ {S_0} = (a + b) (c + d) – (a + b) c – b (c + d) [/ matemática] [matemática] = ad – bc [/ matemática]
Lo cual es lo mismo que determinante de la matriz.
PD: El determinante también se define como el producto de los valores propios de la matriz correspondiente, pero eso se mantiene siempre que uno de los valores propios sea 1 [matrices rotacionales].

De acuerdo, espera mi cerveza. Imagine que está jugando con una cosa plastoelástica (como un juguete hecho de plastilina), y de alguna manera lo está deformando al estirar y girar un poco. Tal deformación puede describirse matemáticamente mediante una matriz 3 × 3, y el determinante de esta matriz muestra cuánto ha estirado su juguete . Este es el significado físico más simple del determinante.

Esto, por supuesto, puede generalizarse hacia dimensiones inferiores o superiores (hasta matrices infinitamente dimensionales) y para matrices con elementos de matriz diferenciales.

¡Que te diviertas!

Si consideramos que una matriz n * n describe un paralelopípedo n- dimensional, con uno de los vértices como origen y cada una de las filas otro vértice, entonces el determinante es el volumen del paralelopípedo.

Cualquier matriz puede descomponerse en una serie de matrices elementales. Las matrices elementales, cuando se multiplican con otra matriz, hacen lo siguiente:

  • multiplicar una fila con un escalar
  • agrega dos filas
  • intercambiar dos filas

Es fácil demostrar que el determinante del producto de dos matrices elementales es el producto de los determinantes. Por lo tanto, todos los determinantes tienen esta propiedad:

[matemáticas] | AB | = | A || B | [/ matemáticas]

para cualesquiera dos matrices, A y B.

Como corolario, el inverso de una matriz existe si y solo si el determinante no es cero.

El determinante de una matriz es una operación que lleva una matriz cuadrada a un número. El determinante no es la única forma de hacerlo, pero es muy útil. [*]

El determinante satisface algunas propiedades que son importantes.

La propiedad más básica de un determinante es que si tiene una matriz diagonal, el determinante es el producto de las entradas.

La propiedad más útil que satisface una matriz es que el determinante del producto de las matrices es el producto del determinante de las matrices :
[matemáticas] \ text {det} (M_1 M_2) = \ text {det} (M_1) \ text {det} (M_2) [/ math].

Si conoce los valores propios (realmente muy útiles), estas dos propiedades son suficientes para mostrarle que el determinante de una matriz es el producto de los valores propios .

La segunda propiedad que tiene el determinante es que si multiplica una matriz por una constante (es decir, multiplica cada elemento de la matriz por una constante), el determinante cambia por
[matemáticas] \ text {det} (c M) = c ^ N \ text {det} (M) [/ math]
donde [math] N [/ math] es la dimensión de la matriz. En matemática, el determinante es una función N- lineal .

Es cualquier valor o número que puede calcularse a partir de cualquier matriz cuadrada.

El determinante tiene valor, la matriz no tiene valor.

Se denota como det (A) o | A |

El determinante de 2 órdenes se calcula mediante la multiplicación cruzada y la resta.

Para el determinante de 3 órdenes, se calcula el menor y el cofactor.

Para determinantes de 4 y más órdenes, descienda a determinante de 2 y 3 órdenes.

Para una descripción más detallada, consulte

Para las propiedades del determinante, consulte

Si se ve la matriz como una transformación lineal entre dos espacios de n dimensiones.

un objeto de dimensión n en el espacio A, y su volumen es V m ^ n (metro ^ n-dimensión)

Después de transformado por una matriz T , el objeto está en el espacio B y su volumen cambia a V * | T | m ^ n

Consíguelo ?

A2A, gracias.

La respuesta de Alex Sadovsky a ¿Qué es un determinante? ¿Por qué se necesita esto? ¿Cuál es su relación con las matrices?

Espero que esto ayude