Se pueden describir muchas situaciones mediante cierto número de coordenadas. Por ejemplo, una posición en el espacio tridimensional se puede describir mediante tres coordenadas (que es lo que significa tridimensional). Si desea describir no solo su posición, sino también la dirección que está mirando, necesitará tres coordenadas más, para un total de seis coordenadas. Si desea describir las posiciones y direcciones de tres personas diferentes, necesitará dieciocho coordenadas.
Decimos que las posibles respuestas al primer problema se encuentran en el espacio tridimensional; Las posibles respuestas al segundo problema residen en el espacio de seis dimensiones; y las posibles respuestas a la tercera se encuentran en un espacio de dieciocho dimensiones.
Ahora, hay ciertos problemas cuyas respuestas se encuentran naturalmente en un espacio de dimensiones infinitas . Un ejemplo básico es una situación en la que la respuesta no está dada por una sola posición o dirección, sino por un camino continuo de algún tipo: en cada instante tiene la opción de moverse hacia la izquierda o hacia la derecha, acelerar o reducir la velocidad, etc. , y hay infinitos instantes.
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Como resultado, los problemas en dimensiones finitas (incluso si es, digamos, mil millones de dimensiones) son conceptualmente mucho más simples que los problemas en dimensiones infinitas por varias razones. Sin embargo, si podemos trabajar en ciertos tipos especialmente agradables de espacios de dimensiones infinitas, podemos recuperar algunas de las técnicas que son útiles en casos de dimensiones finitas. Los espacios de Hilbert y los espacios de Banach son ejemplos de estos espacios infinitos especialmente agradables.
