Una suma de exponenciales complejos puede representar la mayoría de las funciones bien condicionadas con precisión arbitraria (transformada de Fourier).
En muchas situaciones, un examen de los exponentes permite sacar conclusiones sobre el comportamiento asintótico de la función en el infinito.
Si recuerda el comportamiento de la función exponencial, un valor de exponente real positivo da como resultado una función que tiende al infinito como el exponente positivo tiende al infinito. Pero un exponente real negativo (en la función exponencial) hace que la función converja a cero cuando el exponente tiende al infinito. Y si el exponente es un número imaginario, la función exponencial muestra oscilaciones.
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La estabilidad de Lyapunov formaliza esa noción, de examinar la función como una suma de exponenciales y predecir el comportamiento en el infinito asintótico examinando los exponentes involucrados en la suma.
