¿Por qué un formulario 1 tiene el siguiente formulario?

Sí, eso es un campo vectorial. Si toma un gráfico de coordenadas [math] (U, \ phi) [/ math] en el que se trivializa el paquete de tangente (es decir, cualquier gráfico de coordenadas), puede escribir cualquier función [math] f: U \ rightarrow TM | _U [/ math] como [math] f (x) = (v_1 (x),…, v_n (x)) [/ math] donde [math] x_i [/ ​​math] son ​​los campos vectoriales coordinados para [matemática] (U, \ phi) [/ matemática] (Es decir, los campos de vector tangente en [matemática] U [/ matemática] correspondientes a las derivaciones [matemática] \ parcial / \ parcial x_i [/ ​​matemática] en [matemática] \ phi (U) [/ math] [o algo similar dependiendo de la definición de vector tangente al que estés acostumbrado]), y [math] v_i [/ ​​math] son ​​los coeficientes de [math] v [/ math] en la dirección [matemáticas] x_i [/ ​​matemáticas]. En particular, cuando restringe un campo vectorial a un gráfico, obtiene dicha representación local. Un vector cotangente, o una forma, es una función [matemática] f: M \ rightarrow TM ^ * [/ matemática] donde [matemática] TM ^ * [/ matemática] se construye de manera similar a [matemática] TM [/ matemática] pero cada fibra [matemática] \ pi ^ {- 1} (x) [/ matemática] del mapa [matemática] \ pi: TM ^ * \ a M [/ matemática] es el espacio vectorial dual de [matemática] TM_x [/ math]. Una vez más, en las coordenadas locales (las mismas que la última vez) podemos trivializar [math] TM [/ math] y, por lo tanto, también [math] TM ^ * [/ math], los vectores duales de los campos de vectores de coordenadas [ math] x_i [/ ​​math] se llaman [math] dx_i [/ ​​math], y forman una base para cada fibra de [math] \ pi: TM ^ * \ rightarrow M [/ math]. Si todos estamos de acuerdo con estas bases, cuando intente evaluar una forma [math] \ omega (x) = \ sum_i f_i (x) dx_i [/ ​​math] en el campo vectorial [math] v [/ math] evidentemente obtendrá la expresión que mencionas (reemplacé phi con omega aquí porque ya usé phi). Tenga en cuenta que los [math] v_i [/ ​​math] tienen un valor real, [math] x [/ math] es un punto en [math] M [/ math], y los [math] v_i [/ ​​math] no son tangentes vectores, solo funciones.