Dado un conjunto X, una función de cierre en X asigna a cualquier subconjunto [matemáticas] A \ subconjunto X [/ matemáticas] un conjunto [matemáticas] cl \, A [/ matemáticas] llamado su cierre. Esta función es necesaria para satisfacer ciertos axiomas que puede encontrar fácilmente en wikipedia o en un libro de texto.
¿Qué significa eso?” Significa precisamente lo que dicen los axiomas. La topología general es tan general que no se puede dar razonablemente una interpretación geométrica, excepto en circunstancias inusualmente agradables. Una topología en un conjunto es solo una colección de subconjuntos que satisfacen algunos axiomas combinatorios.
¿Cómo debería realmente pensar en el cierre? La mayoría de los espacios topológicos con los que trabajamos día a día se parecen mucho a un subespacio del espacio euclidiano. Y la topología en el espacio euclidiano es aquella en la que los conjuntos cerrados son exactamente los conjuntos que contienen todos sus puntos límite: si un punto está infinitamente cerca de un conjunto cerrado, entonces está contenido en ese conjunto cerrado. El cierre de un subconjunto arbitrario del espacio euclidiano es solo el conjunto cerrado más pequeño que lo contiene; es el conjunto obtenido al “agregar” todos los puntos infinitamente cercanos.
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