La normalización geométrica de Noether significa que para cualquier variedad proyectiva irreducible hay un mapa finito [math] \ phi: X \ to \ mathbb {P} ^ n [/ math] y similar
para cualquier variedad afín irreducible hay un mapa finito [math] \ phi: X \ to \ mathbb {A} ^ n [/ math].
Tenga en cuenta que informalmente nos permite ver variedades como cobertura de espacios afines o proyectivos. (Para los mapas finitos, existe un conjunto abierto tal que el número de imágenes inversas de elementos que pertenecen a ese conjunto abierto es igual al grado del mapa, es decir, sin ramificar, aparte de algunos problemas de seperabilidad). Riemann consideró primero las curvas algebraicas como cobertura de Esfera de Riemann, que es básicamente [math] \ mathbb {P} ^ 1 [/ math].
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Esto proporciona cierta motivación para la definición de la dimensión de la variedad algebraica, ya que si existe un mapa finito [matemáticas] X \ a \ mathbb {A} ^ n [/ matemáticas], nos gustaría concluir esa dimensión de [matemáticas] X [/ math] es [math] n [/ math]. Ahora que [math] n [/ math] con dicha propiedad corresponde al grado de trascendencia del campo de función [math] k (X) [/ math] sobre [math] k [/ math], que es básicamente nuestra definición adoptada de ¡dimensión!
(Dado que el mapa es finito [math] k (X) [/ math] tiene que ser integral sobre [math] f ^ * (k (\ mathbb {A} ^ n)) [/ math] que significa [math] k (X) [/ math] es una extensión finita de [math] f ^ * (k (\ mathbb {A} ^ n))) \ cong k (z_1, \ ldots, z_n) [/ math], entonces grado de trascendencia de [matemática] k (X) [/ matemática] sobre [matemática] k [/ matemática] es de hecho [matemática] n [/ matemática]. )
Además, ayuda a construir la normalización de una variedad, que es un intento de traer “amabilidad” al suponer que las cosas están cerradas integralmente.
