¿Cómo probaría lo siguiente? Sea (X, T) un espacio topológico y (xn) una secuencia de elementos de X. 1. Si la topología en X es más fuerte, es más difícil que converja (xn). 2. Si X está equipado con una topología discreta, ¿solo convergen las secuencias que se vuelven constantes?

Una secuencia de puntos converge a un punto x en un espacio topológico, lo que significa que cada vecindad de x (cada conjunto abierto que contiene x) contiene casi todos (es decir, todos menos finitos) puntos en la secuencia en consideración. Por lo tanto, dadas dos estructuras topológicas en un conjunto X, una más fina que la otra, es ‘más difícil’ que una secuencia converja en la topología más fina porque es ‘más fácil’ que converja en la otra topología más gruesa, como los conjuntos abiertos en la topología más fina, por definición de más fino / más grueso, son conjuntos abiertos en la topología más gruesa y más.
De hecho, si X está equipado con una topología discreta, cada subconjunto, y en particular cada singleton, está abierto. Por lo tanto, si una secuencia de puntos converge a un punto x bajo la topología discreta, cada conjunto (abierto) que contiene x, y en particular {x} debe contener todos los puntos de la secuencia, excepto finitos, lo que equivale al requisito de que la secuencia de los puntos serán eventualmente constantes.