[matemática] 1 \ overset {*} {+} 1 = 0 [/ math] donde [math] \ overset {*} {+} [/ math] es la adición de Nim. Esto también se puede escribir como [math] * 1 + * 1 = 0 [/ math]. Pero esto en realidad está relacionado con las matemáticas booleanas, ya que la adición de Nim es equivalente a XOR en la representación binaria de cada número.
Dado cualquier conjunto de símbolos [matemática] S [/ matemática], podemos definir un álgebra sobre [matemática] S [/ matemática] que puede tener operadores que están definidos como queramos. Un operador es una función primaria [matemática] n [/ matemática] desde [matemática] S ^ n [/ matemática] a [matemática] S [/ matemática].
Los enteros se pueden ver como un álgebra sobre [matemática] \ Z [/ matemática], con operadores binarios [matemática] + [/ matemática], [matemática] * [/ matemática] y operador unario [matemática] – [/ matemática ] Pero este no es el único álgebra posible con esa firma.
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El álgebra libre sobre [matemáticas] \ Z [/ matemáticas] con la firma [matemáticas] +, *, – [/ matemáticas] consiste en todas las expresiones sobre los números, pero con el significado eliminado. Dos expresiones son iguales solo si son sintácticamente equivalentes. Es decir, [matemáticas] 1 + 1 = 1 + 1 [/ matemáticas], pero [matemáticas] 1 + 1 \ neq 2 [/ matemáticas].
Pero también podemos asignar cualquier función [math] \ Z \ times \ Z \ rightarrow \ Z [/ math] al operador [math] + [/ math] para obtener un álgebra diferente, en la que quizás [math] 1 + 1 = 2 [/ matemáticas], pero generalmente no lo hace. Por ejemplo, la función
[math] +: (x, y) \ mapsto 2x + y [/ math]
es una definición no conmutativa y no asociativa de [matemáticas] + [/ matemáticas], en la que [matemáticas] 1 + 1 = 3 [/ matemáticas]. (Se supone que la definición usa las definiciones estándar, no usa recursivamente la definición de bicho raro). O podríamos usar un operador no conmutativo diferente:
[matemáticas] +: (x, y) \ mapasto x ^ y [/ matemáticas]
en cuyo caso [matemáticas] 1 + 1 = 1 [/ matemáticas]. A menudo se usa un símbolo especial como # o * o [math] \ square [/ math] para distinguir el operador binario en un álgebra de los operadores estándar como la suma de enteros o la multiplicación de enteros.
