Realmente necesitas el lema de Zorn para esto.
Primero podemos mostrar que cualquier ideal, digo, está contenido en un ideal máximo al observar si [matemática] S = \ {J ideales: I \ subseteq J \} [/ matemática] luego para cualquier cadena ascendente de ideales [matemática] N_ {1} \ subseteq N_ {2} \ subseteq … [/ math] podemos dejar que [math] N = \ bigcup_ {1} ^ {\ infty} N_ {i} [/ math] luego [math] N \ in S [/ math] y es un límite superior para la cadena, por lo que según el lema de Zorn S debe tener un elemento máximo M.
M es trivialmente un ideal máximo y por construcción contiene I.
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De esto podemos inferir que cada no unidad, [matemática] x [/ matemática], está contenida en un ideal máximo al poner [matemática] I = (x) [/ matemática] como usted sugirió.
En algunos anillos, es posible que tenga la estructura suficiente para no tener que recurrir al lema de Zorn, pero en general se requiere el resultado.
