Senia ha dado una buena respuesta a la pregunta, aunque me gustaría agregar un poco más de ángulo a esta pregunta.
Supongamos que hay un camino dibujado sobre un terreno irregular “montañoso” como se muestra en la figura a continuación.
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Si dibujamos una representación gráfica de la ruta, con el eje y representando la altitud y el eje x mostrando el desplazamiento atravesado por la ruta, el gráfico se verá más o menos así.
Para encontrar la longitud de la ruta, necesitamos agregar las longitudes de ruta infinitesimales. Aquí es donde radica el punto raíz de su respuesta: “¿Son todos los elementos infinitesimales iguales?”. Si su respuesta es sí, entonces implica que la longitud de la ruta que calculamos será igual al desplazamiento. Definitivamente no es verdad, ¿verdad? [1]
Una mirada más cercana nos muestra que un elemento infinitesimal [matemático] ds_1 [/ matemático] a lo largo de [matemático] x = 10 [/ matemático], donde la pendiente es despreciable es, de hecho, más pequeño que un elemento infinitesimal [matemático] ds_2 [/ matemático] a lo largo de [math] x = 30 [/ math], donde la longitud del camino es mayor debido a la pendiente.
En geometría diferencial, los coeficientes métricos explican esta aparente diferencia en las longitudes de camino. Para calcular la longitud de la ruta sobre un terreno, la fórmula general es [matemática] ds ^ 2 = g_ {ij} dx_idx_j [/ matemática], de acuerdo con la convención de suma de Einstein, donde se suman los índices repetidos. Las [matemáticas] g_ {ij} [/ matemáticas] son los coeficientes métricos. Para un terreno plano, los componentes [matemática] g_ {ii} [/ matemática] y [matemática] g_ {jj} [/ matemática] son [matemática] 1 [/ matemática], mientras que el resto es cero, por lo que recuperamos nuestra fórmula de Pitágoras [matemáticas] s ^ 2 = {x_1} ^ 2 + {x_2} ^ 2 [/ matemáticas]. Para terrenos irregulares como el que discutimos anteriormente, los coeficientes de [math] g [/ math] pueden ser mayores que [math] 1 [/ math] (como el camino rojo), igual a uno (como el camino rosa), o tal vez tiende al infinito (si la pendiente es infinita).
[1] Creo que podemos decir que si hay un elemento de simetría en el sistema, podemos encontrar un par de regiones donde los elementos infinitesimales son iguales / iguales. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas esféricas, a la misma distancia radial del centro, cada elemento infinitesimal será el mismo. En consecuencia, los elementos infinitesimales a diferentes distancias radiales serán diferentes.
