¿Cuál es el resto cuando (17! +18! +19!) ^ 13 se divide por 23?
Paso 1: Verifique Wolfram Alpha para obtener la respuesta.
Bueno. Ahora que sabemos para qué estamos disparando, ¡hagámoslo!
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A continuación, haga una tabla de los factoriales, (mod 23):
[matemáticas] \ qquad \ begin {array} {cc} n & n! \ text {(mod 23)} \\ \ hline1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 6 \\ 4 & 1 \\ 5 & 5 \\ 6 y 7 \\ 7 y 3 \\ 8 y 1 \\ 9 y 9 \\ 10 y -2 \\ 11 y 1 \\ 12 y -11 \\ 13 y -5 \\ 14 y -1 \\ 15 y 8 \\ 16 y -10 \\ 17 y -9 \\ 18 y -1 \\ 19 y 4 \ end {array} [/ math]
Así que ahora sabemos que el problema se simplifica a
[matemáticas] \ qquad (17! +18! +19!) ^ {13} \ equiv (-9 -1 +4) ^ {13} \ equiv (-6) ^ {13} \ text {(mod 23) }.[/matemáticas]
Sabemos por el pequeño teorema de Fermat que [matemáticas] (- 6) ^ {22} \ equiv 1 \ text {(mod 23)}, [/ matemáticas] así que [matemáticas] (- 6) ^ {11} \ equiv \ pm 1 \ text {(mod 23)}. [/ Math]
Pero cual es? ¿Es [matemáticas] (- 6) ^ {11} \ equiv 1? [/ Matemáticas] o es [matemáticas] (- 6) ^ {11} \ equiv -1? [/ Matemáticas]
Bueno, esta es exactamente la definición del símbolo Legendre,
[matemáticas] \ qquad (-6) ^ {11} = (- 6) ^ {\ frac {23-1} {2}} = \ left (\ dfrac {-6} {23} \ right) \ text { (mod 23)}. [/ matemáticas]
El símbolo Legendre es multiplicativo, entonces
[matemáticas] \ qquad \ left (\ dfrac {-6} {23} \ right) = \ left (\ dfrac {-1} {23} \ right) \ left (\ dfrac {2} {23} \ right) \ left (\ dfrac {3} {23} \ right) = \ left (-1 \ right) \ left (1 \ right) \ left (1 \ right) = – 1, [/ math]
que conocemos por estas propiedades del símbolo Legendre:
[matemáticas] \ qquad \ left (\ dfrac {-1} {p} \ right) = 1 \ text {iff} p \ equiv 1 \ text {(mod 4)} [/ math]
[matemáticas] \ qquad \ left (\ dfrac {2} {p} \ right) = 1 \ text {iff} p \ equiv \ pm 1 \ text {(mod 8)} [/ math]
[matemáticas] \ qquad \ left (\ dfrac {3} {p} \ right) = 1 \ text {iff} p \ equiv \ pm 1 \ text {(mod 12)} [/ math]
Así que ahora sabemos [matemáticas] (- 6) ^ {11} \ equiv -1 \ text {(mod 23)}. [/ Matemáticas]
Sé lo que estás pensando. Hubiera sido más rápido simplemente multiplicar todos los poderes de [math] -6, [/ math] como hicimos con los factoriales. ¡Pero entonces te habrías perdido toda esa alegría de Legendre!
¿Bueno, dónde estábamos? Oh si…
[matemáticas] \ qquad (17! +18! +19!) ^ {13} \\\ qquad \ quad \ equiv (-6) ^ {13} \\\ qquad \ qquad \ equiv ((- 6) ^ { 11}) (- 6) (- 6) \\\ qquad \ qquad \ quad \ equiv (-1) (- 10) \\\ qquad \ qquad \ qquad \ equiv 10 \ text {(mod 23)} [/ matemáticas]
