El teorema del gráfico cerrado con el que estoy familiarizado es el relativo a los espacios de Banach. Afirma:
Si [math] X [/ math] y [math] Y [/ math] son espacios de Banach y [math] T: X \ rightarrow Y [/ math] es un operador lineal, entonces [math] T [/ math] es continua si y solo si [matemáticas] \ {(x, y) \ en X \ veces Y: Tx = y \} [/ matemáticas] está cerrado en [matemáticas] X \ veces Y [/ matemáticas].
La importancia de este teorema proviene de la siguiente definición de continuidad. (Es una definición algo general de continuidad, pero la escribiré específicamente para espacios de Banach).
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Un operador lineal, [math] T: X \ rightarrow Y [/ math], entre espacios de Banach es continuo si y solo si: siempre que [math] (x_n) \ rightarrow x [/ math] en [math] X [/ math ], tenemos que [matemáticas] T (x_n) \ rightarrow T (x) [/ matemáticas] en [matemáticas] Y [/ matemáticas].
Es decir, siempre que (1) sea verdadero, tenemos que (2) y (3) son verdaderos:
1) [matemática] (x_n) [/ matemática] converge a alguna [matemática] x [/ matemática] en [matemática] X [/ matemática].
2) [matemática] T (x_n) [/ matemática] converge a alguna [matemática] y [/ matemática] en [matemática] Y [/ matemática].
3) [matemáticas] y = T (x) [/ matemáticas].
Entonces, para la definición (algo) general de continuidad, debemos mostrar que [(1) implica (2) y (3)] para una secuencia arbitraria en [matemáticas] X [/ matemáticas].
Ahora, para ver la importancia del teorema del gráfico cerrado, considere lo que significa que el gráfico se cierre:
El gráfico, [matemáticas] \ {(x, y) \ en X \ veces Y: T (x) = y \} [/ matemáticas], se cierra en [matemáticas] X \ veces Y [/ matemáticas] si y solo if: cuando [math] (x_n, y_n) [/ math] está en el gráfico y [math] (x_n, y_n) \ rightarrow (x, y) [/ math], tenemos que [math] (x, y ) [/ math] está en el gráfico. Es decir, siempre que [math] (x_n, T (x_n)) [/ math] converja a [math] (x, y) [/ math], tenemos que [math] T (x) = y [/ math] .
Lo importante de esta definición de cierre es que solo necesitamos mostrar que [(1) y (2) implican (3)] para una secuencia arbitraria en [matemáticas] X [/ matemáticas], que es una condición generalmente más débil que esa de la definición de continuidad discutida anteriormente. (Aquí podemos suponer (2), mientras que antes teníamos que demostrarlo a partir de (1).) En cierto sentido, esto hace que sea “más fácil de lo que pensábamos originalmente” demostrar la continuidad para operadores lineales entre espacios de Banach.
(Existen otros tipos de teoremas de gráficos cerrados, con un significado similar. La página wiki habla de algunos).
