¿Cuál es la aplicación de la serie de Taylor en la vida real?

Las series de Taylor se estudian porque las funciones polinómicas son fáciles y si se puede encontrar una manera de representar funciones complicadas como series (polinomios infinitos), se pueden estudiar fácilmente las propiedades de las funciones difíciles.

1. Evaluación de integrales definidas: algunas funciones no tienen una antiderivada que pueda expresarse en términos de funciones familiares. Esto dificulta la evaluación de integrales definidas de estas funciones porque el Teorema fundamental del cálculo no se puede utilizar. Si tenemos una representación polinómica de una función, a menudo podemos usarla para evaluar una integral definida.
2. Comprender el comportamiento asintótico: a veces, una serie de Taylor puede brindarnos información útil sobre cómo se comporta una función en una parte importante de su dominio.
3. Comprender el crecimiento de las funciones.
4. Resolviendo ecuaciones diferenciales

Para comprender las aplicaciones de los polinomios de Taylor a la vida real, primero debemos comprender un concepto de lo que estas series pueden ilustrar.

Me desviaré del aspecto de cálculo de las series de Taylor para hacer una observación clave: un polinomio de Taylor puede tomar funciones que involucran conceptos complejos como trigonometría y logaritmos en relaciones enteras que involucran multiplicación, división, suma y resta.

Ahora, en nuestra búsqueda para aplicar esto a la vida real, buscaremos una ciencia que implique medidas y fórmulas complejas que involucren ángulos y trigonometría. Inmediatamente, la física viene a la mente con sus fórmulas que involucran vectores y movimiento armónico. Excavando un poco de material de física avanzado, encontré una relación interesante.

También hay aplicaciones en física. Si un sistema bajo una fuerza conservadora (uno con una función de energía asociada a él, como la gravedad o la fuerza electrostática) está en un punto de equilibrio estable x0, entonces no hay fuerzas netas y la función de energía es cóncava hacia arriba (la energía es mayor en cualquier lado es esencialmente lo que lo hace estable). En términos de series de Taylor, la función de energía U centrada alrededor de este punto tiene la forma
U (x) = U0 + k1 (x − x0) 2 + k2 (x − x0) 3 ⋯

Donde U0 es la energía al mínimo x = x0. Para pequeños desplazamientos, los términos de orden superior serán muy pequeños y pueden ignorarse. Así que podemos aproximarnos a esto solo mirando los dos primeros términos:
U (x) ≈U0 + k1 (x − x0) 2 ⋯

Ahora la fuerza es la derivada negativa de la energía (las fuerzas lo envían de alta a baja energía, proporcionalmente a la caída de energía). Aplicando esto, obtenemos que
F = ma = mx ′ ′ = – 2k1 (x − x0)

Reformulación en términos de y = x − x0:
my ′ ′ = – 2k1y

Cuál es la ecuación para un oscilador armónico simple. Básicamente, para pequeños desplazamientos alrededor de cualquier equilibrio estable, el sistema se comporta aproximadamente como un resorte oscilante, con un comportamiento sinusoidal. Entonces, bajo ciertas condiciones, puede reemplazar un sistema potencialmente complicado por otro que sea muy bien entendido y bien estudiado. Puedes ver esto en un péndulo, por ejemplo.

Hay tres aplicaciones importantes de la serie Taylor:
1. Usando series de Taylor para encontrar la suma de una serie.
2. Usar series de Taylor para evaluar límites.
3. Uso de polinomios de Taylor para aproximar funciones.

Aplicación de Taylor [correo electrónico protegido] en bard.edu
La mayoría de los cálculos relacionados con funciones exponenciales (e) se resuelven con series de Taylor.