Aquí hay un ejemplo bastante trivial:
(Casi) Teorema: para todos los enteros positivos n, el grupo simétrico [math] S_n [/ math] tiene un grupo trivial de automorfismo externo.
Precisamente hay una excepción: [math] S_6 [/ math] tiene 2 elementos en su grupo de automorfismo externo. El elemento de no identidad de este grupo se conoce como el excepcional automorfismo externo de [math] S_6 [/ math].
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Mi profesor de álgebra, un investigador decente de la teoría de grupos finitos, dijo que este era el hecho que lo interesó en el campo. De hecho, hay muchos ejemplos en la teoría de teoremas de grupos finitos que casi funcionan, a excepción de algunos contraejemplos altamente no triviales. El más famoso de estos es:
(Casi la) Clasificación de grupos simples finitos: cada grupo simple finito es isomorfo a un grupo cíclico de primer orden, a un grupo alterno [matemática] A_n [/ matemática], donde [matemática] n \ ge 5 [/ matemática], o a un miembro de una de las 16 familias infinitas de grupos de tipo Lie.
Este casi teorema separa los grupos simples finitos (que son esencialmente los “números primos” de la teoría de grupos) en 18 familias infinitas, y resulta que hay precisamente 26 excepciones (27 si eres un fanático del grupo Tits), todos que son bastante grandes (¡el más pequeño tiene aproximadamente 8,000 elementos, el más grande acerca de [matemáticas] 8 \ veces 10 ^ {53} [/ matemáticas] elementos!).
Aunque este hecho ha sido probado (y se considera uno de los mayores logros de la comunidad matemática del siglo XX), no creo que haya habido una respuesta muy satisfactoria para “por qué” hay estos 27 grupos simples finitos que son tan diferente de todos los demás, especialmente el más grande, el grupo Monster, que ha estado apareciendo en lugares muy sorprendentes desde su descubrimiento (busque Monstrous moonshine para obtener más información al respecto).
