A lo que te refieres se le conoce como la paradoja de Zenón de la tortuga y Aquiles
¿Cuál es la paradoja de Zenón de la tortuga y Aquiles?
(Fuente: La paradoja de Zenón de la tortuga y Aquiles (PRIME))
- ¿Cómo es tomar 18.901 (Topología) en el MIT?
- ¿Qué tipo de matemáticas usan los ingenieros aeroespaciales?
- ¿Qué tan fácil es para alguien diseñar la casa de sus sueños dados los principios básicos de las matemáticas pero sin conocimiento de arquitectura?
- ¿Qué ecuación usarías para obtener una curva para determinar los puntos de experiencia por nivel en un juego de rol?
- Cómo demostrar que [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {(k + 2) (2k + 3)} {17k!} = E [/ matemáticas]
La Tortuga desafió a Aquiles a una carrera, alegando que ganaría siempre que Aquiles le diera una pequeña ventaja. Aquiles se rió de esto, porque, por supuesto, era un guerrero poderoso y rápido de pie, mientras que la Tortuga era pesada y lenta.
“¿Qué tan grande es la ventaja que necesitas?”, Le preguntó a la tortuga con una sonrisa.
“Diez metros”, respondió este último. 
Aquiles se rió más fuerte que nunca. “Seguramente perderás, amigo mío, en ese caso”, le dijo a The Tortoise, “pero déjanos competir, si lo deseas”. “Por el contrario”, dijo la tortuga, “voy a ganar, y puedo demostrárselo con un simple argumento”. “Continúa entonces”, respondió Aquiles, con menos confianza de la que sentía antes. Sabía que era el atleta superior, pero también sabía que la Tortuga tenía el ingenio más agudo, y había perdido muchas discusiones desconcertantes con él antes de esto. “Supongamos”, comenzó la Tortuga, “que me das una ventaja de 10 metros. ¿Diría que podría cubrir esos 10 metros entre nosotros muy rápidamente? “Muy rápido”, afirmó Aquiles. “Y en ese momento, ¿qué tan lejos debería haber ido, crees?” “Quizás un metro, no más”, dijo Aquiles después de pensarlo un momento. “Muy bien”, respondió la tortuga, “así que ahora hay un metro entre nosotros. ¿Y alcanzarías esa distancia muy rápido? “¡Muy rápido!” “Y sin embargo, en ese tiempo habré ido un poco más lejos, así que ahora debes alcanzar esa distancia, ¿sí?” “Sí”, dijo Aquiles lentamente. “Y mientras lo haces, habré ido un poco más lejos, para que luego puedas alcanzar la nueva distancia”, continuó la tortuga suavemente. Aquiles no dijo nada. “Y como puede ver, en cada momento debe estar alcanzando la distancia entre nosotros y, sin embargo, yo, al mismo tiempo, agregaré una nueva distancia, por pequeña que sea, para que pueda volver a ponerse al día”. “De hecho, debe ser así”, dijo Aquiles con cansancio. “Y así nunca puedes ponerte al día”, concluyó la tortuga con simpatía. “Tienes razón, como siempre”, dijo Aquiles con tristeza, y reconoció la carrera.
La paradoja de Zenón se puede reformular de la siguiente manera . Supongamos que deseo cruzar la habitación. Primero, por supuesto, debo cubrir la mitad de la distancia. Entonces, debo cubrir la mitad de la distancia restante. Entonces, debo cubrir la mitad de la distancia restante. Entonces debo cubrir la mitad de la distancia restante. . . Y así por siempre. La consecuencia es que nunca puedo llegar al otro lado de la habitación. Lo que esto realmente hace es hacer que todo movimiento sea imposible, porque antes de que pueda cubrir la mitad de la distancia, debo cubrir la mitad de la mitad de la distancia, y antes de poder hacerlo, debo cubrir la mitad de la mitad de la distancia, y así sucesivamente, de modo que en realidad nunca puedo mover ninguna distancia, porque hacerlo implica mover primero un número infinito de pequeñas distancias intermedias. Ahora, dado que el movimiento obviamente es posible, surge la pregunta, ¿qué le pasa a Zeno? ¿Cuál es el “defecto en la lógica”? Si está prestando toda su atención al asunto, debería comenzar a hacer que se retuerza un poco, ya que, por lo visto, la lógica de la situación parece inexpugnable. ¡No deberías poder cruzar la habitación, y la Tortuga debería ganar la carrera! Sin embargo, lo sabemos mejor. Hmm
En lugar de enfrentar a Zeno de frente, detengámonos para notar algo notable. Supongamos que tomamos la paradoja de Zenón al pie de la letra por el momento, y estamos de acuerdo con él en que antes de que pueda caminar una milla, primero debo caminar media milla. Y antes de que pueda caminar la media milla restante, primero debo cubrir la mitad, es decir, un cuarto de milla, y luego una octava milla, y luego una decimosexta milla, y luego una trigésima segunda milla, y pronto. Bueno, supongamos que puedo cubrir todas estas infinitas distancias pequeñas, ¿hasta dónde debería haber caminado? ¡Una milla! En otras palabras,
[matemáticas] 1 = \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {16} +…. [/matemáticas]
Ahora la resolución de la paradoja de Zenón es fácil .
Obviamente, me tomará un tiempo fijo cruzar la mitad de la distancia al otro lado de la habitación, digamos 2 segundos . ¿Cuánto tiempo tomará cruzar la mitad de la distancia restante ? La mitad del tiempo, solo 1 segundo. Cubrir la mitad de la distancia restante (una octava parte del total) tomará solo medio segundo. Y así uno. ¿Y una vez que he cubierto todas las infinitas sub-distancias y sumado todo el tiempo que me llevó atravesarlas? Solo 4 segundos, y aquí estoy, al otro lado de la habitación, después de todo.
Y el pobre Aquiles habría ganado su carrera.
[matemáticas] \ frac {2} {1} + \ frac {2} {2} + \ frac {2} {4} + \ frac {2} {8} +… = 4 segundos [/ matemáticas]
