Cómo derivar la ecuación para una catenaria

Una forma de hacer esto es resolver un problema a partir del cálculo de variaciones . En el video (enlace a continuación) así es como lo hacen:

Supongamos que tenemos dos círculos que están conectados por una película de jabón (imagina que comenzamos con uno dentro del otro y los separamos). Queremos encontrar la curva que forma el área de superficie mínima cuando giramos la curva alrededor de los círculos (curva de revolución). ¡Resulta que no es una línea recta!

Para configurar esto, primero necesitamos encontrar la ecuación para el área de superficie de esta curva desconocida, x (y). Así,

[matemáticas] A_ {superficie} = \ int_ {0} ^ {1} dA [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ int_ {0} ^ {1} 2 \ pi y ds [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ int_ {0} ^ {1} 2 \ pi y \ sqrt {dx ^ 2 + dy ^ 2} [/ matemáticas]

y por lo tanto nuestra ecuación para resolver (o más bien, encontrar el mínimo de) es

[matemáticas] A_ {superficie} = 2 \ pi \ int_ {y_1} ^ {y_2} y \ sqrt {1 + x ‘^ 2} dy [/ matemáticas]

Lo que tenemos que hacer desde aquí es resolver la ecuación de Euler-Lagrange

[matemáticas] \ frac {\ partial F} {\ partial x} – \ frac {d} {dy} \ big (\ frac {\ partial F} {\ partial x ‘} \ big) = 0 [/ math]

donde [matemáticas] F (y, x, x ‘) = y \ sqrt {1 + x’ ^ 2} [/ matemáticas]. Así, la ecuación de Euler-Lagrange se convierte en

[matemáticas] – \ frac {d} {dy} \ big (\ frac {yx ‘} {\ sqrt {1 + x’ ^ 2}} \ big) = 0 [/ matemáticas]

que proporciona la ecuación diferencial para una catenaria

[matemáticas] \ frac {yx ‘} {\ sqrt {1 + x’ ^ 2}} = constante [/ matemáticas]

para lo cual la solución es la función hiperbólica para la catenaria

[matemáticas] x = acosh ^ {- 1} (\ frac {y} {a}) + b [/ matemáticas]

donde a y b son constantes.

Aquí está el video:

que también discuten la distancia más corta entre dos puntos y el problema de la braquistocrona . ¡Disfrutar!

Wikipedia parece tener una muy buena derivación de la ecuación.