Esta es una pregunta recurrente. Pondré mi perspectiva aquí y ‘presentaré’ una función realmente valiosa, que hace el trabajo. Insisto en los valores reales , porque los números complejos, que se utilizarán en el camino, proporcionan un camino elegante. Primero, ¿cuál es una integral indefinida de una función [matemáticas] f (x) [/ matemáticas]?
Es una función, o una familia de funciones que difieren en una constante con derivada igual a [math] f [/ math]. Por lo tanto, para el problema en consideración, podemos escribir
[matemáticas] \ int e ^ {x ^ 2} \ mathrm {d} x = \ int_0 ^ xe ^ {t ^ 2} \ mathrm {d} t + C \ dotsi (*) [/ math]
¿Qué tiene de especial el cero? Nada. Uno puede elegir libremente otro límite inferior (digamos algunos [matemática] a [/ matemática]), y obtener el formulario anterior, es decir
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[matemáticas] \ int_a ^ xe ^ {t ^ 2} \ mathrm {d} t = \ int_0 ^ xe ^ {t ^ 2} \ mathrm {d} t + \ int_a ^ 0e ^ {t ^ 2} \ mathrm {d } t [/ matemáticas]
Observe que [math] e ^ {t ^ 2} [/ math] está acotado en el intervalo [math] (a, 0) [/ math] para cualquier finite [math] a [/ math], por lo tanto, el segundo existen dos integrales y pueden absorberse en la constante arbitraria [matemáticas] C [/ matemáticas] en la ecuación [matemáticas] (*) [/ matemáticas]. Para continuar, dejamos que [math] t = u / i [/ math] en la ecuación [math] (*) [/ math] obteniendo
[matemáticas] \ int_0 ^ xe ^ {t ^ 2} \ mathrm {d} t = \ frac {1} {i} \ int_0 ^ {ix} e ^ {- u ^ 2} \ mathrm {d} u [/ matemáticas]
comparando la ecuación anterior con la definición de la función de error que podemos escribir
[matemáticas] \ int_0 ^ xe ^ {t ^ 2} \ mathrm {d} t = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2i} \ mathrm {erf} (ix) [/ math]
Además, observe que el resultado es una función real (usando [math] \ mathrm {erf} (\ bar {z}) = \ overline {\ mathrm {erf} (z)} [/ math]). Esto motiva la definición de la función [math] \ mathrm {erfi} (z) [/ math], llamada función de error imaginario [math] \ mathrm {erfi} (z) = – i ~ \ mathrm {erf} (iz ) [/ math], que puede usarse para expresar la integral en la ecuación [math] (*) [/ math]. Obtenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ int e ^ {x ^ 2} \ mathrm {d} x = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} \ mathrm {erfi} (x) + C [/ math]
La integral se representa a continuación para [matemáticas] C = 0, \ pm 3 [/ matemáticas]
CÓDIGO : El código MATLAB para [math] \ mathrm {erfi} (x) [/ math] se publica aquí.
PD : Una integral estrechamente relacionada se llama la integral de Dawson.
Salud !
