Cómo calcular la cuarta raíz de -16 y trazarla en un diagrama de diagrama

Por inspección, el ángulo en el que reside el punto es [math] π [/ math] rad.

[matemáticas] | z | = \ sqrt {(- 16) ^ 2 + 0 ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] | z | = 16 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ tan \ theta = – \ frac {0} {16} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ tan \ theta = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ theta = \ arctan0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ theta = π [/ matemáticas] rad

Usando el teorema de De Moivre,

[matemáticas] z ^ {\ frac {1} {n}} = r ^ {\ frac {1} {n}} \ cos (\ frac {\ theta + 2 \ pi k} {n}) [/ matemáticas] [matemáticas] + i \ sin (\ frac {\ theta + 2 \ pi k} {n}) [/ matemáticas]

[matemáticas] z ^ {\ frac {1} {4}} = 2 (\ cos (\ frac {\ pi + 2 \ pi k} {4}) + i \ sin (\ frac {\ pi + 2 \ pi k} {4})) [/ matemáticas]

Cuando [matemáticas] k = 0 [/ matemáticas],

[matemáticas] z_1 ^ {\ frac {1} {4}} = 2 (\ cos (\ frac {\ pi} {4}) + i \ sin (\ frac {\ pi} {4})) [/ matemáticas ]

[matemáticas] z_1 ^ {\ frac {1} {4}} = 2 (\ frac {\ sqrt {2}} {2} + i \ frac {\ sqrt {2}} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] z_1 ^ {\ frac {1} {4}} = \ sqrt {2} + i \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Cuando [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas],

[matemáticas] z_2 ^ {\ frac {1} {4}} = 2 (\ cos (\ frac {3 \ pi} {4}) + i \ sin (\ frac {3 \ pi} {4})) [ /matemáticas]

[matemáticas] z_2 ^ {\ frac {1} {4}} = 2 (- \ frac {\ sqrt {2}} {2} -i \ frac {\ sqrt {2}} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] z_2 ^ {\ frac {1} {4}} = – \ sqrt {2} -i \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Cuando [matemáticas] k = 2 [/ matemáticas],

[matemáticas] z_3 ^ {\ frac {1} {4}} = 2 (\ cos (\ frac {5 \ pi} {4}) + i \ sin (\ frac {5 \ pi} {4})) [ /matemáticas]

[matemáticas] z_3 ^ {\ frac {1} {4}} = 2 (- \ frac {\ sqrt {2}} {2} -i \ frac {\ sqrt {2}} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] z_3 ^ {\ frac {1} {4}} = – \ sqrt {2} -i \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Cuando [matemáticas] k = 3 [/ matemáticas],

[matemáticas] z_4 ^ {\ frac {1} {4}} = 2 (\ cos (\ frac {7 \ pi} {4}) + i \ sin (\ frac {7 \ pi} {4})) [ /matemáticas]

[matemáticas] z_4 ^ {\ frac {1} {4}} = 2 (\ frac {\ sqrt {2}} {2} + i \ frac {\ sqrt {2}} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] z_4 ^ {\ frac {1} {4}} = \ sqrt {2} + i \ sqrt {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] a, b \ in \ R [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + bi) ^ 4 = -16 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 4 + 4a ^ 3bi-6a ^ 2b ^ 2-4ab ^ 3i + b ^ 4 = -16 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 4-6a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4 = -16 [/ matemáticas] y [matemáticas] 4a ^ 3b-4ab ^ 3 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] ab (a ^ 2-b ^ 2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] ab (a + b) (ab) = 0 [/ matemáticas]

Caso 1: [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 4 = -16 [/ matemáticas]

Sin soluciones

Caso 2: [matemáticas] b = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 4 = -16 [/ matemáticas]

Sin soluciones

Caso 3: [matemáticas] a = \ pm b [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 4-6a ^ 4 + a ^ 4 = -16 [/ matemáticas]

[matemáticas] -4a ^ 4 = -16 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 4 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] a = \ pm b = \ pm \ sqrt2 [/ matemáticas]

[matemáticas] z = \ pm \ sqrt2 \ pm \ sqrt {-2} [/ matemáticas]

Vamos a factorizarlo un poco.

[matemáticas] x = (- 16) ^ {\ frac {1} {4}} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 4 = -16 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 4 + 16 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + 4i) (x ^ 2-4i) = 0 [/ matemáticas]

Intenta descubrir la última parte del cálculo.

A continuación, le mostramos cómo puede calcular cualquier raíz de cualquier número real positivo:

[matemáticas] \ sqrt [a] {x} = x ^ {\ frac {1} {a}} [/ matemáticas]

Entonces, en su calculadora, escriba [matemáticas] – [/ matemáticas] [matemáticas] 16 ^ {\ frac {1} {4}} [/ matemáticas].

La primera pregunta que debe hacerse es cuántas raíces cuarta tiene un número.