Antes de responder a su pregunta, debo señalar (como una especie de descargo de responsabilidad) que no alentaría a uno a pensar demasiado en la posibilidad de que los teoremas matemáticos establecidos puedan resultar ser falsos .
Las matemáticas, a diferencia de las ciencias naturales como la física, son una ciencia exacta. Solo le preocupa el razonamiento lógico y los resultados precisos que se derivan de la aplicación sistemática de la lógica utilizando un conjunto de reglas y operaciones bien definidas.
A diferencia de las teorías físicas o naturales como las leyes de la física de Newton, una vez que se ha demostrado que algo en matemáticas es cierto, es casi imposible que luego se muestre falso, a menos que se haya producido un error fatal en el razonamiento lógico.
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Esto ciertamente ha ocurrido muchas veces en la historia de las matemáticas (y de hecho, es una parte natural e inevitable de la búsqueda de las matemáticas en sí), pero la razón por la cual los resultados matemáticos establecidos son como están hoy, bien establecidos, se debe precisamente al hecho de que los esfuerzos colectivos de los matemáticos para verificar los errores en el razonamiento de las pruebas del resultado (conocido como revisión por pares) no han dado tal error y, como tal, se ha aceptado que están libres de errores.
Una vez dicho esto, su pregunta está bien redactada y bien pensada a este respecto y debo decir que es una pregunta interesante sobre la que preguntarse. La matemática en sí misma puede ser una ciencia exacta, pero la llevan a cabo matemáticos, que en última instancia son simples humanos, que, como cualquiera de nosotros, son inevitablemente propensos a errores e imperfectos.
Por lo tanto, la fuente más probable de un error tan fatal en un teorema matemático bien establecido sería uno en el que la prueba implique grandes cantidades de trabajo mecánico o trabajo de casos (o golpes , ya que las personas matemáticas pueden llamarlo “ cariñosamente ”).
Quizás el ejemplo más famoso y obvio de esto es el último teorema de Fermat, cuya prueba por Andrew Wiles en 1995 tardó más de 7 años en completarse e incluso hoy es entendido completamente solo por los expertos más calificados en los campos relevantes.
Sin embargo, limitado solo por mi falta de conocimiento real de la prueba de FLT, diría que quizás no es un excelente ejemplo de uno que involucra grandes cantidades de trabajo mecánico propenso a errores. Habría implicado principalmente el desarrollo y la aplicación de conceptos e ideas novedosos, que los expertos que tienen una base sólida y experiencia con teorías relevantes pueden verificar fácilmente que son correctos.
Sin embargo, entre los teoremas que son más prominentes en la conciencia pública, debo decir que el Teorema de los cuatro colores es de hecho un candidato fuerte. Su prueba de Appel y Haken en 1976 incluyó más de 400 páginas de análisis escritos a mano para mostrar solo que el problema podría reducirse a la verificación mecánica adicional de 1.936 casos, que luego se llevó a cabo por una computadora.
Se ha demostrado que la verificación mecánica de estos 1.936 casos es imposible de completar solo por humanos dentro de un plazo razonable. En los años posteriores a la publicación de Appel y Haken de su prueba asistida por computadora del FCT, se generó mucho debate y, de hecho, controversia sobre si tal prueba asistida por computadora podría aceptarse como una prueba matemática legítima, dado que su legitimidad finalmente se basaba en factores más allá de lo que podría determinarse solo por la lógica (por ejemplo, el hardware de la computadora utilizado para realizar los cálculos). Incluso se propusieron argumentos filosóficos sobre la naturaleza de las matemáticas en sí, encabezados por Thomas Tymoczko en 1980.
Incluso hoy en día, sigue habiendo dudas y motivos legítimos de preocupación (no importa cuán pequeño sea) sobre la validez de la prueba FCT, como lo discutió Robin Wilson en su libro Four Colors Suffice de 2014.
El legendario Martin Gardner publicó este diagrama como parte de una broma de los Inocentes en su columna de Scientific American el 1 de abril de 1975, alegando que era un contraejemplo para el FCT. ¿Qué pasaría si hubiera un contraejemplo que tuviera millones o incluso miles de millones de regiones?
Por supuesto, descubrir que algún progreso que se ha hecho en un problema matemático en última instancia resulta ser incorrecto es, como mencioné al principio, parte esencial de la progresión natural de las matemáticas. Después de todo, los humanos nunca están libres de errores. Sin embargo, se obtienen nuevos resultados matemáticos, correctos e incorrectos, todos los días dentro de la comunidad matemática. En este caso, he tomado la razón de llevar implícita la suposición implícita de que el teorema también es conocido no solo en los círculos matemáticos sino también entre el público en general. La FCT es, en este sentido, la opción más adecuada dada su accesibilidad incluso para las personas menos inclinadas matemáticamente.
Entonces, si tuviera que nominar a un candidato para el teorema matemático que es más conocido entre el público en general, más establecido en la comunidad matemática, pero que probablemente contenga una falla en su prueba que lo hace falso, nominaría El teorema de los cuatro colores .
Por supuesto, debo señalar una vez más que, aunque existe la posibilidad de que sea realmente falsa, esta posibilidad es extremadamente minúscula, posiblemente ni siquiera en el mismo orden de magnitud que alguien que gana la lotería dos o tres veces seguidas. Es simplemente (en mi opinión) el más probable hoy entre los teoremas conocidos. 🙂
