¿Cuáles son las aplicaciones de la teoría del operador? La Ciencia y la Tecnología mejoran el futuro

Supongo que esta pregunta es sobre la teoría del operador según el artículo de Wikipedia. Dado que la teoría del operador es una rama del análisis funcional, la siguiente respuesta tiene como objetivo responder “¿Cuáles son las aplicaciones del análisis funcional?” Tenga en cuenta que esto también debería responder ¿Cuáles son algunas aplicaciones de la integración funcional de la vida real? y ¿Cuáles son algunas aplicaciones de la vida real de operadores unitarios y autoadjuntos?

Antes de entrar en algunas aplicaciones, demos una breve definición (elemental) de análisis funcional. Supongamos que tenemos un espacio vectorial [math] V [/ math] sobre un campo [math] \ mathbb {K} [/ math]. Definimos el espacio dual algebraico [matemático] V ^ * [/ matemático] como el conjunto de mapas lineales [matemático] V \ rightarrow \ mathbb {K} [/ matemático]. Es bastante sencillo mostrar que un funcional lineal está limitado si y solo si es continuo [1]. Dado que la continuidad es una propiedad analítica importante, estamos interesados en estudiar el espacio dual continuo [matemáticas] \ tilde {V} ^ * [/ matemáticas] . El análisis funcional se puede describir (groseramente) como el estudio del conjunto de funciones lineales continuas en un espacio vectorial [matemática] V [/ matemática]. Tenga en cuenta que este espacio vectorial no necesita ser de dimensión finita, separable o particularmente agradable. El estudio de los operadores en [matemáticas] V [/ matemáticas] surgió del análisis funcional porque el tipo de operadores “más simples” son los funcionales lineales. Además, el teorema de representación de Riesz [2] establece que cada funcional lineal lineal (por lo tanto, continuo) puede representarse como un producto interno. En los espacios vectoriales de funciones, esto significa que cada función lineal continua puede representarse mediante una integral, que es un operador con el que sabemos cómo tratar. Finalmente, tenga en cuenta que en un espacio vectorial de dimensiones finitas, uno siempre puede pensar en un lineal funcional como una matriz.

Teniendo en cuenta estos antecedentes generales, veamos algunas aplicaciones.

Aplicaciones:

Cálculo de variaciones. Es difícil resolver con exactitud muchas ecuaciones diferenciales parciales (PDE). Sin embargo, a veces es posible resolver PDEs débilmente . Definamos esto un poco más. Suponga que un PDE está representado por un operador diferencial [matemático] D: L ^ 2 (X, \ mu) \ rightarrow L ^ 2 (X, \ mu) [/ matemático], para algún espacio métrico separable [matemático] X [/ matemática], de modo que quiero todo [matemática] f: X \ rightarrow \ mathbb {R} [/ matemática] tal que [matemática] Df = 0 [/ matemática]. Una solución débil es una función [math] \ tilde {f}: X \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] tal que para todas las funciones de prueba [math] \ varphi \ en C_c ^ {\ infty} (X) [ / matemáticas] (funciones suaves con soporte compacto) Tengo [matemáticas] \ langle D \ tilde {f}, \ varphi \ rangle = \ langle \ tilde {f}, D ^ {\ dagger} \ varphi \ rangle = 0 [ /matemáticas]. Tenga en cuenta que [math] \ tilde {f} [/ math] puede ser una distribución.
Esta es la matemática detrás del método de elementos finitos tan popular . Además, todos los problemas de variación buscan soluciones débiles, por lo que la visión por computadora y la informática científica también son aplicaciones.
Cálculo matricial . Sí, las matrices tienen un derivado, y para estudiarlo, uno necesita un análisis funcional. Esto es muy útil para calcular varias cantidades estadísticas y los exponenciales de matriz juegan un papel destacado en las estadísticas.
El concepto de una distribución de probabilidad. Las distribuciones de probabilidad son medidas y, por lo tanto, según Riesz, solo están bien definidas en presencia de un funcional lineal.
Procesos difusivos. La ecuación del calor está en todas partes, desde la ecuación de Black-Scholes para precios de opciones a simulaciones meteorológicas . La forma más fácil de resolver las ecuaciones diferenciales que definen los procesos difusivos (por ejemplo, ecuaciones como [matemáticas] \ partial_ {t} u (x, t) = [\ partial ^ {2} + k_1 (x) \ partial + k_2 (x )] u (x, t) [/ math]) es a través del uso de núcleos integrales. Estos se definen a través de los operadores integrales asociados.
Concentración en medida. Súper hermoso y súper importante en la descripción del empaque de la esfera (en el que Google y Microsoft confían en sus algoritmos), la mecánica estadística y la búsqueda de similitud (en la que se basa Google) [3]
La desigualdad de Grothendieck. Sí, es un Geómetro Algebraico increíble , pero ¿sabías que trabajó en análisis funcional antes de hacer Geometría Algebraica? La desigualdad de Grothendieck da límites a las formas cuadráticas en espacios de dimensiones finitas. Resulta que esto es importante en las normas de gráficos de límites en aplicaciones a la informática [4].
Desigualdades de Log-Sobolev. Útil para problemas en el aprendizaje automático que se basan en campos aleatorios de Markov. Dan límites que son útiles para escalar algoritmos a sistemas grandes
Métodos de Markov Chain-Monte Carlo. Los pasos de transición de MCMC corresponden al estudio de la teoría de los operadores aleatorios.

Probablemente hay muchas más aplicaciones: estas fueron las que podría sacar de mi cabeza. ¡El análisis funcional está en todas partes!

[1] Rudin, Análisis real y complejo, Teorema 5.4
[2] http://nfist.pt/~edgarc/wiki/ind…
[3] Por ejemplo, ver http://citeseerx.ist.psu.edu/vie…
[4] http://www.springerlink.com/cont…

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