Suponiendo que a es real e I es un número entero, la ecuación [math] a ^ I = I! [/ Math] ya es una “relación entre ay I”, por lo que supongo que estamos buscando una relación explícita (por ejemplo, a expresado como una función de I— resolviendo la ecuación para a ).
Habría varias formas de hacer esto, pero ninguna es particularmente más simple que la ecuación dada. Por ejemplo:
- [matemáticas] a = (I!) ^ {1 / I} = \ sqrt [I] {I!} [/ matemáticas] – es decir, a es la media geométrica de 1, 2, …, I. Esto es exacto , pero algo incómodo de calcular.
- Sin embargo, podemos ver que [math] a \ doteq \ frac Ie \ sqrt [2I] {2 \ pi I} [/ math] usando la aproximación de Stirling [math] n! \ Doteq \ sqrt {2 \ pi n} \ left (\ frac ne \ right) ^ n [/ math].
- [matemáticas] \ ln a = \ frac1I \ sum_ {k = 1} ^ I \ ln k [/ matemáticas] – el promedio (media aritmética) de [matemáticas] \ ln1, \ ln2, \ puntos, \ ln I [/ matemáticas].
- [matemática] \ sum_ {k = 1} ^ I \ ln k [/ matemática] se aproxima razonablemente por [matemática] \ int_ {0.5} ^ {I + 0.5} \ ln x \, dx = (I + 0.5) \ ln (I + 0.5) -I + 0.5 \ ln 2 [/ math], entonces tenemos [math] \ ln a \ doteq \ left (1+ \ frac {1} {2I} \ right) \ ln (I + 0.5 ) -1+ \ frac {1} {2I} \ ln2 [/ math], de modo que [math] a \ doteq (I + 0.5) ^ {1+ \ frac1 {2I}} \ cdot \ sqrt [2I] 2 / e [/ matemáticas]. (Esta aproximación no es tan buena como la que da Stirling).
¿Cómo puedo encontrar la relación entre ay I en a ^ I = I! (factorial)?
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