¿Cuántos cuadrados hay en un tablero de ajedrez 8 × 8?

Estos son lo máximo que uno puede preguntarle

Para su pregunta, usaremos la fórmula del número de cuadrados

[matemáticas] n = 8 [/ matemáticas]

Número de cuadrados = [matemáticas] \ dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {8 \ cdot 9 \ cdot 17} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 12 \ cdot 17 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ en caja {204} [/ matemáticas]

¡Espero eso ayude!

Si desea una explicación más detallada de su fórmula o prueba detallada, ¡no dude en comentar!

Todavía estoy escribiendo para satisfacer la respuesta de Quora bot …

Número de triángulos -2 Fue lo más difícil para mí probar

Como puede ver, tenemos triángulos que apuntan hacia arriba y hacia abajo

Si desea la fórmula para [matemáticas] S_m (n) = 1 ^ m + 2 ^ m + 3 ^ m + \ cdots + n ^ m [/ matemáticas]

Mira esto

Hay 204 cuadrados en un tablero de ajedrez de 8 × 8.

Esto se puede calcular simplemente como:

Considere que la longitud del lado de un cuadrado es la unidad. Ahora, el número total de cuadrados con el lado de la longitud de la unidad es 64. Del mismo modo, se encuentra que el número de cuadrados con dos unidades de longitud es el cuadrado de 7, que es 49.

En una lógica similar, el número total de cuadrados es igual a la suma de los cuadrados de los números naturales hasta 8, ¡lo que resulta ser 204!

Vayamos a lo básico.
Para un cuadrado de 1 × 1, tenemos 1 cuadrado.
2 × 2: 4 + 1 (entero) = 5
Para un 3 × 3: 14
Para un 4 × 4: 30
(Comprueba por ti mismo es fácil)
Así que dividámoslos en una fórmula generalizada.
1: 1² = 1
2: 1² + 2² = 5
3: 1² + 2² + 3² = 14
4: 1² + 2² + 3² + 4² = 30
Es cierto para todas las placas cuadradas nxn.
Ahora, para un tablero de 8 × 8:
1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² = 204
Por lo tanto, tenemos 204 cuadrados en un tablero de ajedrez.

Piense en el tablero de ajedrez como una cuadrícula cartesiana [matemática] 8 \ veces 8 [/ matemática].

Para crear un cuadrado [matemático] n \ veces n [/ matemático], donde [matemático] 1 <= n <= 8 [/ matemático], primero podemos seleccionar un segmento de longitud [matemático] n [/ matemático] a lo largo del eje xy otro a lo largo del eje y. Si dibujamos regiones en la cuadrícula perpendicular a cada uno de estos segmentos, la superposición entre las dos regiones será un cuadrado [matemático] n \ veces n [/ matemático].

Hay 8 formas de seleccionar segmentos de 1 longitud a lo largo de cualquier eje, 7 formas de seleccionar 2 longitudes, 6 formas para 3 longitudes … 9 – n formas para segmentos de n longitudes.

Entonces, para cada valor de n, hay formas [matemáticas] (9-n) \ veces (9-n) [/ matemáticas] de seleccionar un cuadrado del lado n.

Entonces, en total, tenemos [matemáticas] 8 ^ 2 + 7 ^ 2 + 6 ^ 2 +… 1 ^ 2 = 204 [/ matemáticas] cuadrados.

Deje que el tablero de ajedrez esté alineado en el eje con sus esquinas suroeste y noreste en [matemáticas] (0, 0) [/ matemáticas] y [matemáticas] (8, 8) [/ matemáticas], y considere un cuadrado con esquinas suroeste y noreste en [matemáticas] (x_1, y_1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (x_2, y_2) [/ matemáticas].

• Los cuadrados centrados al sur de la línea diagonal de 45 ° [matemática] x = y [/ matemática] se describen exactamente por [matemática] 0 \ le y_1
• Los cuadrados centrados en o al norte de esa línea se describen exactamente por [math] 0 \ le x_1

Eso da un total de [matemáticas] \ tbinom {9} {3} + \ tbinom {10} {3} = 204 [/ matemáticas] cuadrados.

(La misma idea que mi respuesta a ¿Cuántos cuadrados hay en un rectángulo, 12 cuadros cuadrados de ancho y 24 cuadros cuadrados de alto?)

Naveen ha dado el caso especial, así que le daré al general:

En un tablero cuadrado de n por n celdas, hay

• [matemáticas] n ^ 2 [/ matemáticas] celdas que forman un cuadrado de tamaño 1 × 1
• [matemáticas] (n-1) ^ 2 [/ matemáticas] celdas que forman la esquina superior izquierda de un cuadrado de tamaño 2 × 2
• [matemáticas] (n-2) ^ 2 [/ matemáticas] celdas que forman la esquina superior izquierda de un cuadrado de tamaño 3 × 3
• …
• [matemáticas] 2 ^ 2 [/ matemáticas] celdas que forman la esquina superior izquierda de un cuadrado de tamaño n-1 por n-1
• [matemática] 1 ^ 2 [/ matemática] celda que forma la esquina superior izquierda de todo el tablero de tamaño n por n.

¿Cuántas células hay en total? Es la suma de los cuadrados de cada número entre 1 y n. O los primeros n números cuadrados en otras palabras.

Esto es algo bien conocido. La suma de los primeros n números cuadrados es

[matemáticas] (n ^ 3) / 3 + (n ^ 2) / 2 + n / 6 [/ matemáticas]

Considere los diferentes lugares que puede ser cada cuadrado. Un 1 por 1 puede estar en 8 posiciones diferentes para las coordenadas x e y. Un 2 por 2 puede estar en 7 cada uno, ya que se ha eliminado un lugar en cada dirección, etc. Por lo tanto, tenemos la suma de cuadrados hasta 8, 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 = 204 .

Hay una fórmula cerrada para los primeros n cuadrados S (n), que puede derivarse más o menos fácilmente de la fórmula de Euler-Maclaurin (u otros métodos más involucrados):

S (n) = n (n + 1) (2n + 1) / 6

Aquí tenemos

S (8) = 8 * 9 * 17/6 = 204 como se esperaba.

64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 204

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