[math] 2 \ mathbb {Z} [/ math], el conjunto de números pares, es un ideal en [math] \ mathbb {Z} [/ math]. Entonces, [math] 3 \ mathbb {Z} [/ math], el conjunto de múltiplos de 3. Y tiene sentido decir que
[matemáticas] (2 \ mathbb {Z}) \ cdot (3 \ mathbb {Z}) = 6 \ mathbb {Z} [/ math]
porque cada producto de un número par y un múltiplo de tres es un múltiplo de seis, y cada múltiplo de seis es el producto de algún número par y algún múltiplo de tres.
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Ahora también podríamos querer decir que
[matemáticas] (\ frac {1} {2} \ mathbb {Z}) \ cdot (6 \ mathbb {Z}) = 3 \ mathbb {Z}. [/ math]
Esto nos deja con la pregunta de exactamente qué tipo de objeto matemático [math] \ frac {1} {2} \ mathbb {Z} [/ math] es. No es un ideal de [math] \ mathbb {Z} [/ math] porque contiene cosas fuera de [math] \ mathbb {Z} [/ math] como [math] \ frac {1} {2} [/ math ] Por otro lado, no es un ideal de un anillo más grande porque ese anillo debería contener [math] \ frac {1} {2} [/ math], y luego el ideal debería contener
[matemáticas] \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4} [/ matemáticas]
Como estamos viendo algo que solo está cerrado bajo multiplicación por [math] \ mathbb {Z} [/ math], estamos viendo un submódulo [math] \ mathbb {Z} [/ math] de algunos [math ] \ mathbb {Z} [/ math] -módulo. La elección obvia de [math] \ mathbb {Z} [/ math] -module aquí es simplemente [math] \ mathbb {Q} [/ math]. En términos más generales, podríamos considerar un submódulo R de K , donde K es el campo de fracciones de algún anillo R.
Por supuesto, un ideal fraccional no es solo un submódulo R de K. También tenemos la condición de que podemos “borrar todos los denominadores” al multiplicar por un solo elemento de R. Esa condición está ahí para que podamos obtener los submódulos relevantes relacionados con la aritmética ideal.
