¿Cuáles son algunas de las propiedades interesantes de Infinity?

Del mismo modo, se podría decir que [math] \ aleph_0 [/ math] es el tamaño del conjunto de todos los números naturales {1,2,3,4,5, …}. Esto es claramente un infinito relacionado con “un número infinito de cosas que podría alinear pero nunca terminar de contar.

Ahora, también podría querer medir el tamaño de todos los números reales, {1,2, sqrt (7), pi, e, gamma, …}. Resulta que esto no es lo mismo que [math] \ aleph_0 [/ math] porque no puedes hacer un mapeo uno a uno entre los números naturales y los números reales. Entonces, los infinitos que describen los tamaños de los conjuntos vienen en muchos tipos.

(Existe una idea separada de los números generalizados, llamados ordinales en lugar de cardinales , donde hay un infinito correspondiente [matemática] \ omega [/ matemática] que es el infinito que obtienes al contar en lugar de medir el tamaño; es decir, es el número después todos 1,2,3,10 ^ 123, etc. No entiendo este concepto también).

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Otro problema es que no se puede decir inequívocamente que la división por 0 es + inf o -inf. 1 / x se acerca a + inf cuando x se acerca a cero desde la derecha, pero -inf cuando x se acerca a cero desde la izquierda.

Sin embargo, puede obtener un sentido consistente de división por cero en ciertos sistemas de números que incluyen algo como el infinito. Estos son los números reales extendidos ( proyectados) y los números complejos extendidos . La paradoja anterior se evita porque en ambos hay solo un infinito, en lugar de + inf, -inf o (fase compleja) * inf. (El primer problema sigue siendo inevitable, y las expresiones como inf – inf, inf + inf, 0 * inf, etc. se dejan como formas indeterminadas indefinidas). Además, los números complejos extendidos se pueden describir mediante una construcción geométrica muy hermosa llamada la esfera de Riemann:

El plano complejo está envuelto en una esfera, con todos los puntos a una distancia infinita del origen que convergen en el “polo norte” de la esfera. (La construcción equivalente para los números reales extendidos es un círculo). La esfera de Riemann ayuda con muchas cosas, como hablar sobre el comportamiento de una función cerca del infinito (ya sea continua / analítica / tiene un polo simple cerca de allí). Además, las funciones racionales p (z) / q (z) donde p y q son polinomios, que pueden tener polos en el plano complejo, se convierten en funciones analíticas en la esfera de Riemann.